Trigonométrica integral con coseno

Question

No puedo resolver la siguiente ecuación: Yo sé lo que he escrito es malo por que no puedo entender de donde salió agria.

$$\int \frac{1}{\cos(5x)} dx$$ $$\left[ \begin{align*} 5x=s\\ x=\frac{s}{5}; \frac{dx}{ds}=\frac{1}5 \end{align*} \right] $$ $$ \frac{1}{5}\int \frac{1}{\cos (s)}\frac{\cos (s)}{\cos (s)}\,ds= \frac{1}{5}\int \frac{\cos (s)}{\cos^2(s)}\,ds=\frac{1}{5}\int \frac{\cos (s)}{1-\sin^2(s)}\,ds $$

$$\left[ \begin{align*} \sin(s)=y\\ \frac{dy}{ds}=-\cos(s) \end{align*} \right] $$

$$ \frac{1}{5} \cdot -\frac{1}{2}\int\frac{1}{1-y}-\frac{1}{1+y} dy $$ $$ \left[ -(-\ln(1-y) - \ln(1+y)\right] = \left[ \ln\frac{(1-y)}{(1+y)}\right] = \left[ \ln\frac{(1-\sin(s))}{(1+\sin(s))}\right] = \left[ \ln\frac{(1-\sin(5x))}{(1+\sin(5x))}\right] $$

Answer 1

¿Has conocido la función$\sec$? Eso hará las cosas mucho más fáciles aquí. Tenemos ese$\sec y =\frac{1}{\cos y}$, por lo tanto su integral se convierte en:$$\int{\sec (5x) dx}$$Standard integration, while remembering to divide by the $ 5$, gives us $$\frac15\ln|\sec(5x)+\tan(5x)|+C$ $

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Creo que tu error es que$$y=\sin(s)\to\frac{dy}{ds}=\cos(s) \text{ rather than } (-\cos(s))$ $

Answer 2

Sugerencia. Tenga en cuenta que tomando el derivado de $$\ln\left(\frac{1-\sin(5x)}{1+\sin(5x)}\right)=\ln(\underbrace{1-\sin(5x)}{>0})-\ln(\underbrace{1+\sin(5x)}{>0})$ $ haz $$ \frac{-5\cos(5x)}{1-\sin(5x)}-\frac{5\cos(5x)}{1+\sin(5x)} = - \frac{10\cos(5x)}{1-\sin^2(5x)}=-\frac{10}{\cos(5x)}. $$ por lo que no está tan lejos de la respuesta correcta: sólo olvidó considerar la constante $\frac{1}{5} \cdot -\frac{1}{2}$ en la última línea.

Answer 3

Curiosamente, se puede trabajar esto con los imprevisibles subsitution $u=\sin 5x$ directamente.

$$x=\frac15\arcsen u,dx=\frac15\dfrac{du}{\sqrt{1-u^2}},\\\int\frac{dx}{\cos 5x}=\frac15\int\frac{du}{\sqrt{1-u^2}\sqrt{1-u^2}}=\frac15\int\frac{du}{1-u^2}. $$

La última integral es elemental, dando

$$\frac15\int\frac{du}{1-u^2}=\frac15\text{artanh }u=\frac15\text{artanh}(\sin 5x).$$

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Si nunca has oído hablar de las funciones hiperbólicas, observe la similitud con el ordinario arco tangente, y comprobar el logaritmo basado en la fórmula. Por supuesto, se obtiene el mismo resultado con fracción de descomposición.

Answer 4

No hay nada malo en su respuesta.

Recoger su resultado, de hecho tenemos

%#% $ #% que es correcto como puede verificarse por diferenciación.

No es necesario tener en cuenta valores absolutos, como el numerador y el denominador son no negativos.

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Un poco reproche sobre ti: no muestra claramente la relación entre los resultados parciales.