¿Cuándo tiene $(p-1)! + 1 = p^k $?

Question

Tenemos un primer $p$ y un entero $k > 0$. ¿Cuándo quiere decir la siguiente ecuación?

$(p-1)! + 1 = p^k $

Obviamente he probado para algunos números poco, y en algunos casos, se encuentra:

$ p=2$ Y $k=1, 1 + 1 = 2$.

$ p=3$ Y $k=1, 2 +1 = 3.$

$ p=5$ Y $k=2, 24 + 1 = 25.$

Cualquier idea cómo probar, si son más, y si sí, ¿cuáles son las soluciones?

Answer 1

Mostramos que no puede existir ninguna solución para el $p\gt 5$ % $ $$(p-1)!+1 = p^k \implies (p-1)! = p^k-1 = (p-1)\sum\limits_{i=0}^{k-1}p^i$

Cancelar $p-1$ ambos lados y obtener $$(p-2)! = \sum\limits_{i=0}^{k-1}p^i$ $

Observe que el lado izquierdo es divisible por $p-1$de % de $p\gt 5$ % $ $$\begin{align}0&\equiv \sum\limits_{i=0}^{k-1}p^i \pmod{p-1}\\0&\equiv \sum\limits_{i=0}^{k-1}1 \pmod{p-1}\\0&\equiv k \pmod{p-1}\\k&=t(p-1)\end{align}$

Por eso es necesario $k$ de % de forma $t(p-1)$

$$(p-1)! + 1 = p^{t(p-1)}$$

Claramente esto es imposible porque $(p-1)! + 1 \lt p\cdot p\cdots (\text{p-1 times}) = p^{p-1}$

Eso demuestra que no existen soluciones para $p\gt 5$.