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prueba de la suprayectividad de una función que satisfaga ciertas propiedades

Deje $f\colon \mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ ser una función continua tal que $|f(p)-f(q)|\geq a|p-q|,\quad \forall p,q\in\mathbb R^2$$a>0$. Mostrar que $f$ es inyectiva y surjective (por lo tanto tiene inversa) y que su inversa es continua.

Este es un problema de un espacio métrico topología de prueba que hice. El más importante de los contenidos de la prueba fueron convergencia uniforme, equicontinuity, Arzelà-Ascoli Teorema, iterado de funciones, Stone-Weierstrass Teorema etc. El ejercicio es muy simple y creo que es posible resolver por los más elementales conceptos.

Yo ya demostró que la $f$ es inyectiva, entonces, mi problema es surjectivity. Para surjectivity he probado algo como esto: desde el $f$ es inyectiva se sigue que $\exists g \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ tal que $\left(g\circ f\right)(x)=x$. Por otro lado $f$ es un derecho inversa para$g$, lo que implica que $g$ es surjective. Yo estaba tratando de mostrar que $g$ es inyectiva pero no me llego nada.

También he demostrado que $f^{-1}$ es continua (asumiendo $ f $ es surjective).

Muchas gracias!

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Federico Fallucca Puntos 11

Para la primera creo que se puede observar que el mapa está cerrado porque si consideras $C\in\mathbb{R}^2$ cerrado tiene que si $y\in\mathbb{R}^2$ es en el clousure de $f(C)$ existe $\{x_n\}_n\subset C$ que $f(x_n)\to y$. Por lo $\{f(x_n)\}_n$ es una secuencia de Cauchy y por su propiedad de $f$ tienes que también se $\{x_n\}_n$ es una secuencia de Cauchy y por lo que es convergente a un $x\in C$ porque $C$ es cerrado. Pero $f$ es continuo y por lo $f(x_n)\to (f(x)=y)$. Por lo $y\in f(C)$ e de $f(C) $ es cerrado.

Ahora mi idea es que si usted demostrar que $f$ es también un abrir mapa que es surjective porque cada uno de abierto-cerrado continuo mapa de un espacio topológico para la conexión de un espacio topológico es surjective.

Otra idea es demostrar que la imagen de la función es denso en $\mathbb{R}^2$ porque en este caso $\mathbb{R}^2 =cl(f(\mathbb{R}^2))=f( \mathbb{R}^2)$

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