Deje $f\colon \mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ ser una función continua tal que $|f(p)-f(q)|\geq a|p-q|,\quad \forall p,q\in\mathbb R^2$$a>0$. Mostrar que $f$ es inyectiva y surjective (por lo tanto tiene inversa) y que su inversa es continua.
Este es un problema de un espacio métrico topología de prueba que hice. El más importante de los contenidos de la prueba fueron convergencia uniforme, equicontinuity, Arzelà-Ascoli Teorema, iterado de funciones, Stone-Weierstrass Teorema etc. El ejercicio es muy simple y creo que es posible resolver por los más elementales conceptos.
Yo ya demostró que la $f$ es inyectiva, entonces, mi problema es surjectivity. Para surjectivity he probado algo como esto: desde el $f$ es inyectiva se sigue que $\exists g \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ tal que $\left(g\circ f\right)(x)=x$. Por otro lado $f$ es un derecho inversa para$g$, lo que implica que $g$ es surjective. Yo estaba tratando de mostrar que $g$ es inyectiva pero no me llego nada.
También he demostrado que $f^{-1}$ es continua (asumiendo $ f $ es surjective).
Muchas gracias!