¿Es cierto que $\lvert\sin z\rvert\le 1$ implica que el $z\in\mathbb R$?

Question

Mi libro dice "probar eso si $z\in\mathbb C$ y $\lvert\sin z\rvert\le 1$ y $z\in\mathbb R$."

Pero creo que esto no puede ser verdad como

$$\lvert\sin z\rvert^2=\sin^2x+\sinh^2y$$

y si $\lvert\sin z\rvert\le 1$, entonces, $\sinh^2y\le1-\sin^2x=\cos^2x$.

Claramente podemos encontrar algunos $y\neq 0$, que $\sinh^2y\le\cos^2x$ $x$.

¿Por lo tanto quiero saber si algo salió mal en mis explicaciones?

Answer 1

Tienes razón: sólo tomar $y$ tal que $-1\le\sinh y\le 1$, que es obviamente posible por el teorema del valor intermedio; entonces el \rvert=\lvert\sinh y\rvert\le $$ \lvert\sin (iy) 1 $$

Answer 2

Tienes razón de hecho tenemos

$$\sin z=\sin(x+iy)=\sin x\cos (iy)+\cos x\sin(iy)=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y$$

y así

$$|\sin z|=\sin^2 x\cosh^2 y+\cos^2 x\sinh^2 y=$$$$=\sin^2 x (y \cosh^2 y-\sinh^2) + \sinh^2 y = \sin^2 x + \sinh^2 y$ $

y la condición determinada es verdadera sólo para $x=\frac{\pi}2+k\pi \implies \sin^2 x=1$.