demostrando que el área de un polígono echado a un lado del 2016 es un entero incluso

Question

Deje $P$ $2016$ cara polígono con todos sus lados adyacentes perpendiculares uno al otro, es decir, todos sus ángulos internos son o $90$°o $270$°. Si las longitudes de sus lados son números enteros impares, demostrar que su área es un entero par.

Creo que visualizar lo que este polígono podría parecerse más o menos a ser la clave para la introducción en el problema, pero estoy teniendo bastantes dificultades para hacerlo. Desde el interior de los ángulos son todos los $90$° o $270$°, creo que la forma sería como un rectángulo o un cuadrado con pequeños cuadrados o rectángulos que sobresale de cada lado - pero mini rectángulos que sobresalen de los lados no sería posible porque grados de $180$° no están permitidos. Y para demostrar que el área es un entero par, si hay mini plazas que sobresalen de los lados tiene que ser, incluso, el número de esos cuadrados en total. Y entonces yo también necesita asegurarse de que al menos la anchura o la longitud de los 'grandes' del cuadrado o del rectángulo es aún. Pero me parece quedar atrapado tratando de atraer a un posible diagrama de...

Answer 1

Deje $m = 504$ $p_0, p_1, \ldots, p_{4m-1}$ $2016$ vértices del polígono $\Delta$ ordenados en sentido antihorario manera. Deje $p_{4m} = p_0$ $(x_k,y_k)$ ser las coordenadas de $p_k$. WOLOG, vamos a suponer que todos los $x_k, y_k$ son enteros, y los bordes son horizontales o verticales.

Cíclico reordenación si es necesario, vamos a suponer $y_0 = \min \{ y_k \}$ y $x_0 = \min \{ x_k : y_k = y_0 \}$.
Cambiar el origen de modo que $p_0 = (0,0)$. Es fácil ver por todos los $k$, la paridad de coordenadas satisfacen:

$$p_k = (x_k,y_k) \equiv \begin{cases} (0,0), & k \equiv 0 \pmod 4\\ (1,0), & k \equiv 1 \pmod 4\\ (1,1), & k \equiv 2 \pmod 4\\ (0,1), & k \equiv 3 \pmod 4 \end{casos}$$

El uso de Verde del teorema, podemos evaluar el área de $\Delta$ como una integral de línea por encima de su límite de $\partial \Delta$:

$$\verb/Area/(\Delta) = \int_\Delta dx dy = \int_{\partial \Delta} x dy$$

Desde $\partial\Delta$, hay un montón de horizontal o vertical de los segmentos, podemos convertir la última parte integral de una suma correspondiente bordes${}^{\color{blue}{[1]}}$.

Podemos dividir el 2016 bordes del polígono en $4$ grupos.

• $p_{4\ell} \to p_{4\ell+1}$ : no contribuir, porque este es un borde horizontal.
• $p_{4\ell+1} \to p_{4\ell+2}$ : $x$ es constante y un número impar. Desde $y_{4\ell+2} - y_{4\ell+1}$ es también impar, esto contribuye a un número impar de la zona.
• $p_{4\ell+2} \to p_{4\ell+3}$ : no contribuir, porque este es un borde horizontal.
• $p_{4\ell+3} \to p_{4\ell+4}$ : $x$ es constante y de un número par. Desde $y_{4\ell+4} - y_{4\ell+3}$ es un número entero, esto contribuye a un número para el área.

Esto significa que, en general, tenemos

$$\int_{p_{k} \p_{k+1}} xdy \equiv \begin{cases} 1 \pmod 2, & k \equiv 1 \pmod 4\\ 0 \pmod 2, & k \not\equiv 1 \pmod 4 \end{casos}$$ Sumando $k$$0$$4m-1$, obtenemos

$$\verb/Área/(\Delta) = \sum_{k=0}^{4 m-1} \int_{p_{k} \p_{k+1}} xdy \equiv m \pmod 2$$

Desde $m$ es un entero par, entonces el área de la original polígono $\Delta$.

Notas

• $\color{blue}{[1]}$ - Para aquellos que no quieren utilizar el cálculo, se puede reemplazar la integral de línea mediante el siguiente formulario específico de cordón fórmula: $$\verb/Area/(\Delta) = \left|\sum_{k=0}^{4m-1} \frac{x_k + x_{k+1}}{2}(y_{k+1} - y_k)\right|$$ El resto de argumentos será exactamente el mismo.

Answer 2

No completar la prueba.

Sin embargo, tal vez usted puede visualizar el polígono como este:

Todos los angulos internos son o $90^\circ$ o $270^\circ$.

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Otra forma de visualizar:

Observar que tiene un $12$de lados del polígono aquí, compuesta de $5$ plazas. El próximo aceptable polígono sería este: Observe que $2$ lados están perdidos y $6$ más lados se añaden, por lo tanto tenemos un $16$de lados del polígono. Nótese también que hay $3$ más de plazas.

Por lo tanto, para un polígono de esta forma, el número de lados que puede ser expresado como: $$12+4x \Rightarrow 12+4x=2016\iff x=501$$ El uso de $x$, el número de plazas que componen este polígono será: $$5+3x\Rightarrow 12+3\cdot501=1508$$ Por lo tanto, tenemos un número de plazas por lo tanto el área es un entero par.

Answer 3

Considere la siguiente estructura $A$:

1. Cada eje paralelo rectángulo cuyas longitudes de los lados son números enteros impares es en $A$.

2. Deje $a \in A$ ser un elemento arbitrario y $b \in A$ ser un rectángulo. La unión de $a \cup b$ $A$ si cumple las siguientes propiedades:

   • La intersección $a \cap b$ es un subconjunto de exactamente uno de los lados de $a$ $b$ respectivamente.
   • La longitud de la intersección $a \cap b$ es un entero par. (La intersección debe ser un segmento de línea por la primera propiedad.)

   • Nota: Si se crea de esta manera $a \cup b$ tiene:

     • el área rara
     • #(lados de la $a$) + #(lados de la $b$) lados
     • $4n$ lados, donde $n$ es el número total de rectángulos que se utiliza en el proceso de creación de $a \cup b$

Es fácil comprobar que esta estructura contiene sólo los polígonos con perpendicular lados adyacentes donde todas las longitudes de los lados son impares.

Ahora considere una arbitraria polígono con la perpendicular lados adyacentes donde todas las longitudes de los lados son impares. Wlog. asumir todos los lados de los ejes paralelos (girar de otra manera). Ahora podemos cortar el polígono en el eje paralelo rectángulos de la siguiente manera:

• "Barrer" el polígono con una línea paralela a un eje (por ejemplo, el eje x)
• Cuando la línea contiene un lado del polígono, que se extienden en el interior del polígono hasta llegar a otro lado. Cortar el polígono a lo largo de los laterales largos en partes (una parte es un rectángulo).

Uno puede comprobar que después de un completo barrido de las piezas que se obtienen son de eje paralelo rectángulos cuyas longitudes de los lados son números enteros impares que se pueden combinar siguiendo el procedimiento de la estructura de la $A$. Así, cada (eje paralelo) polígono con la perpendicular lados adyacentes donde todas las longitudes de los lados son impares es en $A$.

Así, el dado polígono es (después de la rotación) en $A$ y puede ser creado por $2016/4 = 504$ no superpuestos "base de rectángulos". Cada uno de los rectángulos tiene impar área. Por lo tanto el área del polígono es la suma de 504 números impares que es un número par.