¿Cómo calcular este determinante lo antes posible (sin utilizar cualquier software o la calculadora)?

Question

Me senté un Álgebra de la prueba de ayer, que constaba de 30 preguntas y un tiempo total de 45 minutos (un promedio de 1 minuto 30 segundos por pregunta). Una pregunta de la prueba fue este:

Dada la matriz: $$A=\begin{bmatrix} -2 & 4 & 2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & -2 & 4 \\ 1 & -2 & 4 & 2 \end{bmatrix}$$ Cuál de las siguientes opciones es la correcta?

(A) $A^{-1}=\dfrac{A}{25}$

(B) $A^{-1}=\dfrac{A}{5}$

(C) $A^{-1}=\dfrac{A}{15}$

(D) no tiene inversa.

Yo no sé cómo calcular la inversa de una matriz. Por ejemplo, el uso de la Gauss-Jordan método de eliminación. O por ejemplo, usando esta fórmula: $$A^{-1}=\dfrac{\text{Adj}(A^T)}{\text{det}(A)}$$

He calculado el factor determinante y es $625$. Sin embargo, esto no va a ayudarme a elegir la opción correcta (por supuesto que puede eliminar la opción D, lo cual es falso).

Cómo en el mundo se supone que tengo que resolver este problema en torno a 90-100 segundos, sin necesidad de utilizar una calculadora? Hay algún atajo o un truco o algo que me perdí? 90 segundos fue el tiempo promedio por pregunta en la prueba. Dado el poco tiempo que me fue dada para resolver el problema, esto me lleva a pensar que la estructura de Una podría simplificar la respuesta.

Answer 1

Si $A^{-1}=\dfrac{A}{25}$ y $A^2=25I$. Similares para otras opciones. Ahora es necesario calcular sólo un elemento diagonal de $A^2$ a encontrar la opción correcta.

Answer 2

También podemos resolver este problema rápidamente sin el uso de las múltiples opciones de elección como sugerencias para abreviar los cálculos. Así, supongamos que tenemos la matriz $A$ y preguntó a calcular su inversa, sin que se le dijo que el inverso es proporcional a $A$ sí. Luego de observar que las columnas de la matriz son ortogonales, por lo que la matriz es una matriz ortogonal, hasta un factor de normalización. La norma de las columnas es de 5. La inversa de a $A/5$ es por tanto igual a su transpuesta, y la transposición es fácilmente visible a ser igual a la matriz. Así, la inversa de a$A$$A/25$.

Answer 3

La matriz tiene la forma $A =\begin{bmatrix} C & D \ D & C \end{bmatrix} $

Para este tipo de matrices de bloque,

$det (A) = det( C.C -D.C^{-1}.D.C) = $

$ = det (C.C + D.D) = det \left (\begin{bmatrix} 20 & 0 \ 0 & 20 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 & 0 \ 0 & 5 \end{bmatrix} \right) = 25 ^ 2 $

desde $ C.D = -D.C $

$A ^ 2 =\begin{bmatrix} C & D \ D & C \end {bmatrix}\begin{bmatrix} C & D \ D & C \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} C^2 + D^2 & 0 \ 0 & C^2 + D^2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 25 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 25 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 25 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 25 \end{bmatrix} $

Answer 4

Estás allí con el cálculo del determinante. $\det A^2 = 5^8$, Por lo que la respuesta debe ser (A) en orden para $\det \left(A\cdot A^{-1}\right) = 1$

Pero la respuesta de PJK proporciona un enfoque más eficiente.

Answer 5

Nota no es necesario calcular $A^{-1}$ para solucionar este problema, usted sólo necesita determinar qué opción es correcta---probablemente lo prueba también el reconocimiento de este hecho.

Si $A$ es inversible, luego multiplicando ambos lados de cada una de las tres primeras opciones, $A^{-1} = \frac{A}{\lambda}$, da una ecuación equivalente $$A^2 = \lambda I .$$ If $ A$ is not invertible, then there is no (nonzero) $\lambda$ for which the equation holds. So, to determine the answer, it's enough to compute $A^2$, que es computacionalmente mucho más barato que la aplicación de G. J. eliminación.