¿Por qué no incluir como requisito que todas las funciones deben ser continuas para ser diferenciable?

Question

Teorema: Supongamos que $f : A \to \mathbb{R}$ donde $A \subseteq \mathbb{R}$. Si $f$ es diferenciable en a$x \in A$, $f$ es continua en a $x$.

Este teorema es equivalente (por el contrapositivo) con el resultado de que si $f$ no es continua en a $x \in A$ $f$ no es diferenciable en a $x$.

Entonces, ¿por qué los autores en casi todos los análisis de libro, no tome la continuidad de $f$ como un requisito en la definición de la derivada de $f$ cuando (aparentemente) terminan con resultados equivalentes?

Por ejemplo, yo no veo por qué esto no sería una buena definición de la derivada de una función

Definición: Dejar $A \subseteq \mathbb{R}$ y deje $f : A \to \mathbb{R}$ ser una función continua en $a$. Deje $a \in \operatorname{Int}(A)$. Definimos la derivada de $f$ $a$ $$f'(a) = \lim_{t \to 0}\frac{f(a+t)-f(a)}{t}$$ siempre que el límite exista.

Sé que esto es probablemente un problema pedagógico, pero ¿por qué no tomar este lugar como la definición de la derivada de una función?

Answer 1

Porque eso sugiere que puede haber funciones que son discontinuas en $a$ para lo que es cierto que existe el límite $$\lim_{t\to0}\frac{f(a+t)-f(a)}t$ $. Además, ¿por qué añadir una condición que siempre lleva a cabo?

Answer 2

Definiciones tienden a ser minimalistas, en el sentido de que no incluya información innecesaria/redundante que puede derivarse como consecuencia de ello.

Misma razón por qué, por ejemplo, un triángulo equilátero se define como tener todos los lados iguales, en lugar de tener todos los lados y los ángulos igualan.

Answer 3

Porque entonces tendría que comprobar la continuidad sin razón cada vez que quieras comprobar differentiability. Además, da la falsa impresión de ser necesario incluir.

Answer 4

Una posible razón es que la relación entre la diferenciabilidad y continuidad es más sutil en el cálculo multivariable.

Considerar estas definiciones:

Deje $A \subseteq \mathbb{R}^2$ $f : A \to \mathbb{R}$ ser una función. Deje $a \in \operatorname{Int} A$. Definimos la derivada direccional de $f$ $a$ a lo largo del vector unitario $v \in \mathbb{R}^2$ como este:

$$\partial_vf(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+hv) - f(a)}{h}$$

Además, se dice que el $f$ es diferenciable en a $a$ si existe un lineal mapa de $L :\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ tal que

$$\lim_{h\to 0} \frac{\left|f(a+h) - f(a) - Lh\right|}{\|h\|} = 0$$ Tenga en cuenta que $h \in \mathbb{R}^2$ aquí.

Se puede demostrar que si $f$ es diferenciable en a $a$ $L$ es único y las derivadas direccionales existe a lo largo de cualquier vector unitario $v \in \mathbb{R}^2$, siendo igual a $\partial_vf(a) = Lv$. También, implica que el $f$ es continua en a $a$.

Sin embargo, el recíproco no es cierto: si $f$ poseses derivadas direccionales a lo largo de toda la unidad de vectores, $f$ no necesita ser continua en $a$ (digamos diferenciable):

Considere la posibilidad de $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ dada por

$$f(x,y) = \begin{cases} 1, & \text{if %#%#%} \\ 0, & \text{otherwise} \end{casos}$$

Todas las derivadas direccionales en $0 < y < x^2$ existen y son iguales a $(0,0)$, pero la función no es continua en a $0$.

Answer 5

Otra razón es que, más tarde cuando quiere generalizar, puede que tenga que quitar explícitamente ese requisito... ¿por qué el riesgo de que cuando usted no necesita tener en primer lugar?

(Ejemplo: el derivado del paso de la unidad es la delta de Dirac, que es continua en cero.)