He encontrado un buen libro sobre el análisis funcional con un buen teorema: la Continuidad en 0 es igual a Lipschitz continuo lineal mapas en la normativa de espacios.
Este hecho me inspira a preguntar: ¿hay espacios con la propiedad: uniformemente continua es la misma de forma continua (en todas partes)?
Mi problema es encontrar (métrica) espacios con esta propiedad, por lo que yo soy capaz de encontrar la estructura uniforme en espacios topológicos.
Hay un nombre para esta teoría?
Para un espacio métrico $X$, los siguientes son equivalentes:
Definición. $X$ es casi totalmente acotado si para cada a $r>0$ no es un conjunto finito $\{x_1,\dots,x_n\}\in X$ y un número de $\delta>0$ tal que para cualquier distintos puntos de $a,b\notin \bigcup_{i=1}^n B(x_i,r)$ tenemos $d(a,b)\ge \delta$. (En otras palabras, $X\setminus \bigcup_{i=1}^n B(x_i,r)$ es uniformemente separados.) Aquí $B(x,r)=\{y:d(x,y)\le r\}$.
Por ejemplo, la unión de $\mathbb Z$, y la de cualquier subconjunto compacto de $\mathbb R$ satisface 2. Otro ejemplo es el conjunto $\{0\}\cup \{k^{-1}e_n:k,n=1,2,\dots\}\in \ell^2$ donde $\{e_n\}$ es una base ortonormales de $\ell^2$. Este ejemplo es interesante porque el conjunto no puede ser escrito como una unión de un compacto y uniformemente separados conjuntos.
Prueba. Supongamos que tiene 2 pero 1 falla. Deje $f:X\to Y$ ser un mapa continuo que no es uniformemente continua. Entonces no es $\epsilon>0$ y dos secuencias de $p_n,q_n$ $X$ tal que $d_X(p_n,q_n)\to 0$ pero $d_Y(p_n,q_n)\ge \epsilon$ todos los $n$. Deje $B(x_i,r)$ ser como en la definición de los casi totalmente limitada. Desde $d_X(p_n,q_n)\to 0$, para todos lo suficientemente grande $n$ le tienen o $p_n$ o $q_n$$\bigcup_{i=1}^n B(x_i,r)$. Por lo tanto, no es una bola de $B(x_j,r)$ que contiene, digamos, $p_n$ infinitamente muchos de los valores de $n$. En consecuencia, $B(x_j,2r)$ contiene $p_n$ $q_n$ infinitamente muchos de los valores de $n$.
Desde $B(x_j,2r)$ también está completo y casi totalmente acotado, podemos repetir lo anterior con un valor menor de $r$, y con $X$ reemplazado por $B(x_j,2r)$. El resultado es una secuencia anidada de la reducción cerrada de bolas $B_k$, cada uno de los cuales contiene $p_n$ $q_n$ infinitamente muchos de los valores de $n$. Por integridad, $\bigcap B_k$ contiene un punto de $x$. La continuidad de $f$ $x$ contradice la suposición de que $d_Y(p_n,q_n)\ge \epsilon$ todos los $n$.
Ahora supongamos que 2 falla. Esto puede suceder de dos maneras. (a) $X$ no es completa. Considerar como un subconjunto de su finalización $\overline{X}$. Pick $a\in \overline{X}\setminus X$. La función de $f(x)=1/d_{\overline X}(x,a)$ es continua en a $X$, pero no uniformemente continua. De hecho, hay una secuencia de Cauchy $x_n$ $X$ tal que $f(x_n)\to\infty$.
(b) $X$ no está casi totalmente acotado. Entonces existe $r>0$ que $X$ contiene una secuencia infinita de
puntos de $p_n$ tal que $d(p_n,p_m)>r$ siempre $n\ne m$, y además
$\operatorname{dist}(p_n,X\setminus \{p_n\})\to 0$. La última condición nos permite elegir el $q_n\ne p_n$
de modo que $d(p_n,q_n)\to 0$.
Definir $$f_n(x) = \max\left(0, \;1- \frac{d(x,p_n)}{d(p_n,q_n)} \right),\quad n=1,2,\dots$$
y observar que $f_n(p_n)=1$, $f_n(q_n)=0$, y lo suficientemente grande como $n$ de los apoyos de $f_n$ son disjuntas.
Por lo tanto, la función de $\sum_n f_n$ es continua en a $X$, pero que por su construcción no es uniformemente continua.
Dicha métrica espacios son llamados UC-espacios (Google Scholar, Google Libros) o Atsuji espacios. (Google Scholar, Google Libros).
Cita de G. Cerveza: Topologías sobre cerrado y Cerrado Conjuntos Convexos, p.54:
Teorema 2.3.1. Deje $\langle X,d \rangle$ ser un espacio métrico. Los siguientes son equivalentes:
(1) Cada función continua en $\langle X,d\rangle$ con valores en un espacio métrico arbitrario $\langle Y.d'\rangle$ es uniformemente continua;
(2) Cada una con un valor real función continua en $\langle X,d\rangle$ es uniformemente continua;
(3) Cuando $A$ $B$ son distintos elementos de $\operatorname{CL}(X)$, entonces no sale de $\varepsilon>0$ tal que $S_\varepsilon[A]\cap S_\varepsilon[B]=\emptyset$;
(4) El conjunto de $X'$ de la acumulación de puntos de $X$ es compacto, y $\forall \varepsilon>0$ tal que $S_\varepsilon[X']^c$ es de manera uniforme discreta: $\exists\delta>0$ que si $x\ne w$$\{x,w\}\subset S_\varepsilon[X']^c$$\delta>0$;
(5) Cuando $\langle x_n\rangle$ es una secuencia en $X$$\lim_{n\to\infty} d(x_n,\{x_n\}^c)=0$, $\langle x_n\rangle$ tiene un clúster de punto:
(6) Cada cubierta abierta de X tiene un número de Lebesgue: existen un número $\lambda > 0$ de manera tal que cada subconjunto de $X$ de diámetro en la mayoría de las $\lambda$ se encuentra en su totalidad en uno de los miembros de la cubierta.
Aquí $\operatorname{CL}(X)$ denota el conjunto de todos los que no vacía de subconjuntos cerrados de $X$$S_\varepsilon[A]=\{x\in X \colon d(x,A)<\varepsilon\}$.
Algunos autores también utilizan el nombre de los espacios de Lebesgue, ver los comentarios aquí.
Otra cuestión relacionada es: Inversa de Heine–Cantor teorema de
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