Un inyectiva polinomio mapa de $p:\mathbb{C}^n\mapsto\mathbb{C}^n$ es surjective (Ax-teorema de Grothendieck). Lo que se sabe acerca de la implicación inversa (surjective implica inyectiva)? ¿Por qué el modelo de la teoría de la prueba de la a a la G no funciona en la otra dirección?
Respuestas
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Oli
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user2318170
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Como André Nicolás ha señalado, la respuesta a la primera pregunta es trivial. Pero creo que la segunda pregunta es buena.
El modelo teórico de la prueba de Ax-Grothendieck va como esto:
- Mostrar que no es suficiente para demostrar la declaración de algebrically campos cerrados de carácter $p>0$.
- Reducir a un campo finito más que un polinomio (y el elemento que desea golpear a mostrar surjectivity) está definido.
- Demostrar la instrucción para todos los campos finitos.
Los pasos 1 y 3 funcionan bien. Pero el Paso 2 es un problema: Sólo porque nuestro mapa es surjective en un algebraicamente cerrado campo de la característica $p$ no significa que no se surjective cuando restringida a un número finito de subcampo.
Goethe
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Se produce un error en la reducción de a $\overline{\mathbb{F}_p}$. Es decir, en la clásica prueba de podemos decir que por la compacidad y la integridad de $\mathsf{ACF}_p$ es suficiente para demostrar que el reclamo de un mapa de $f:\overline{\mathbb{F}_p}\to\overline{\mathbb{F}_p}$. Luego nos dijo que si $b$ no alcanzado, nuestro mapa restringiría a un inyectiva pero no surjective mapa de $k\to k$ donde $k$ es el campo obtenidos por contigua $b$ y los coeficientes de nuestro mapa a $\mathbb{F}_p$. Pero, esto es ridículo desde $k$ es finito.
Si se trató de imitar a esta prueba en la surjective-implica-inyectiva caso, el argumento se rompe. Mientras que antes el mapa global $f$ ser inyectiva implica el mapa de $k\to k$ es inyectiva, el mapa de $f$ surjective no implica el mapa de $k\to k$ debe ser así.
