Es $T^*T = I$ si $T^* T$ es unitario?

Question

Deje que $ \mathcal {H}$ ser un complejo espacio Hilbert que tiene a lo sumo una base contable, y $T: \mathcal {H} \to \mathcal {H}$ ser un operador lineal limitado. Estoy tratando de probar que $T^* T = I$ si $T^* T$ es unitario. (Aquí $T^*$ denota la unión de $T$ y $I$ es un mapa de identidad.) Dejando $U:=T^* T$ Descubrí que esto es cierto si asumimos que $U$ es diagonal. En efecto, dejemos que $\{ \psi_k \}_{k=1}^N$ ser una base de $ \mathcal {H}$ donde $N \in \mathbb {N} \cup \{ \infty\ }$ de tal manera que $U \psi_k = \lambda_k \psi_k \,\, ( \lambda_k \in \mathbb {C})$ para todos $k$ . Desde $U$ es unitario, $| \lambda_k | = 1$ para todos $k$ . Además, $$ \lambda_k = \lambda_k ( \psi_k , \psi_k ) = ( U \psi_k , \psi_k ) = (T \psi_k , T \psi_k ) \geq 0$$ por lo tanto tenemos $ \lambda_k = 1$ que muestra que la U es una identidad. Claramente este método no puede ser aplicado al caso en que $U$ no es diagonal. Me gustaría tener algún consejo para el caso general. Gracias de antemano. (Este es mi primer correo y me disculpo por cualquier inconveniente.)

Answer 1

El espectro de un unitario está contenido en $S^1 \subset \mathbb C$ y como $T^*T$ es positivo, su espectro está contenido en $[0,\infty)$ . Por lo tanto, si $T^*T$ es unitaria, debe ser la identidad.

Answer 2

Dado $x\in H$ , usted tiene $$ 0\ge -\|Ux - x\|^2 = (Ux - x,x-Ux) = (Ux - x,U(Ux-x)) = (T(Ux - x),T(Ux-x)) = \|T(Ux-x)\|^2\ge 0. $$ Así que $$\|Ux-x\|=0\implies Ux=x$$ para todos $x\in H$ .