Demostrar una desigualdad

Question

Quiero mostrar lo siguiente: $$\left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)^n\sqrt{\frac{n+1}{n-1}}\leq 1; ~~n\geq 2$$ y $n$ es un número entero.

Después de algunas simplificaciones, obtuve el lado izquierdo como $$LHS:\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n-\frac{1}{2}} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+\frac{1}{2}}$$ Está claro que el primer término es menor que 1, pero no tengo ni idea de cómo puedo demostrar que la multiplicación es menor que 1.

¿Puede alguien darme algunas pistas?

Answer 1

Dejemos que

$$f(x) = \Big(\frac{x^2-1}{x^2}\Big)^x\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$$

Demostrar que $f$ es monótonamente creciente para $x\geq 2$ y que $f\rightarrow 1$ como $x\rightarrow\infty$ .

Editar: Podría ser más fácil mostrar que $\log f$ es monótonamente creciente y se acerca a cero.

Answer 2

Considera en $(-1,1)$ la función (con motivación $x=\frac1n$ ) $$ f(x)=\ln\bigl(1-x^2\bigr)+\frac x2\bigl(\ln(1+x)-\ln(1-x)\bigr)-\frac16\ln\bigl(1-x^4\bigr) $$ Entonces $$ f'(x)=-\frac{x}{1-x^2}+\frac12\bigl(\ln(1+x)-\ln(1-x)\bigr)+\frac16\frac{4x^3}{1-x^4} $$ donde vemos que $f(0)=0=f'(0)$ . La siguiente derivada es \begin{align} f''(x)&=-\frac{2x^2}{(1-x^2)^2}+\frac{2x^2}{1-x^4}+\frac83\frac{x^6}{(1-x^4)^2}\\ &=-\frac{4x^4}{(1-x^4)(1-x^2)}+\frac83\frac{x^6}{(1-x^4)^2}\\ &=-\frac43·\frac{3x^4+x^6}{(1-x^4)^2} \end{align} que siempre es negativo para $x\ne 0$ . Entonces para $x>0$ el polinomio lineal de Taylor con el término de resto cuadrático da $$ f(x)=\frac12f''(\theta x)x^2<0 $$ y tomando la exponencial de $f(x)<0$ da $$ \bigl(1-x^2\bigr)·\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{\frac x2}<\bigl(1-x^4\bigr)^{\frac16}. $$ Sustitución de $x=\frac1n$ y tomando la $n$ La potencia de la desigualdad da como resultado la desigualdad solicitada, $$ \left(1-\frac1{n^2}\right)^n·\sqrt{\frac{n+1}{n-1}}<\left(1-\frac1{n^4}\right)^{\frac n6}<1. $$