El cálculo de la infinita suma de uno más de los números impares cuadrado: $\sum_{i \ge 0} \frac{1}{(2i+1)^2}$

Question

Alguien me puede decir cómo calcular la siguiente suma infinita? $$ (1/1^2)+(1/3^2)+(1/5^2)+(1/7^2)+(1/9^2)+(1/11^2)+ \cdots $$

No me dan la respuesta. Me pueden decir si esta es una serie geométrica?

Answer 1

Por convergencia absoluta, puede escribir $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{{n}^2}=\sum_{p=1}^{\infty}\frac{1}{{(2p)}^2}+\sum_{p=1}^{\infty}\frac{1}{{(2p-1)}^2}=\frac14\sum_{p=1}^{\infty}\frac{1}{p^2}+\sum_{p=1}^{\infty}\frac{1}{{(2p-1)}^2}. $$ Se puede tomar desde aquí?

Answer 2

Para probar si es geométrica, comparar la relación de términos adyacentes. Por ejemplo, $\frac{1/3^2}{1/1^2}$$\frac{1/5^2}{1/3^2}$. Son estas dos cantidades iguales?

Sugerencia: $$ \left( \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{7^2} + \frac{1}{9^2} + \cdots\right) \left( \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{8^2} + \frac{1}{16^2} + \cdots \right) \\ = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{6^2} + \cdots $$

Answer 3

Aquí, presentamos un camino a seguir que no requieren un conocimiento previo de los valores de la serie $\sum_{n=1}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$, la de Riemann Zeta Función, o dilogarithm función. Más bien, se aplica el análisis directo que incluye la aplicación del teorema de los residuos.

Para ello, tenga en cuenta que podemos escribir la serie de interés como

$$\begin{align} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2}&=\sum_{n=1}^N \int_0^1 x^{2n}\,dx\int_0^1y^{2n}\,dy\\\\ &=\int_0^1\int_0^1 \sum_{n=0}^\infty(x^2y^2)^n\,dx\,dy\\\\ &=\int_0^1\int_0^1 \frac{1}{1-x^2y^2}\,dx\,dy\\\\ &=\frac12\int_0^1\frac{\log(1+x)-\log(1-x)}{x}\,dx\tag 1 \end{align}$$

A continuación, aplicamos la sustitución de $x\to \frac{x-1}{x+1}$ $(1)$ obtener

$$\frac12\int_0^1\frac{\log(1+x)-\log(1-x)}{x}\,dx=\int_1^\infty \frac{\log(x)}{x^2-1}\,dx\tag 2$$

Siguiente, la aplicación de la sustitución de $x\to 1/x$ $(2)$ revela

$$\int_1^\infty \frac{\log(x)}{x^2-1}\,dx=\int_0^1 \frac{\log(x)}{x^2-1}\,dx \tag 3$$

La adición de $(2)$ $(3)$ y dividiendo por $(2)$ rendimientos

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2}=\frac12\int_0^\infty \frac{\log(x)}{x^2-1}\,dx$$

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Mover el plano complejo, se evalúa la integral de la $J$ definido por

$$J=\oint_C \frac{\log^2(z)}{z^2-1}\,dz$$

donde $C$ es el clásico ojo de la cerradura de contorno con (i) la rama de corte a lo largo de la no-real negativo del eje y (ii) con deformaciones alrededor de $z=1$. Aplicando el teorema de los residuos, es fácil ver que $J=i\pi^3$. Por lo tanto, nos encontramos con que $$\begin{align} J&=i\pi^3\\\\ &=\int_{0}^{\infty}\frac{\log^2(x)}{x^2-1}\,dx-\text{PV}\int_0^\infty \frac{\left(\log(x)+i2\pi\right)^2}{x^2-1}\,dx\\\\ &=-i4\pi\int_0^\infty \frac{\log(x)}{x^2-1}\,dx\\\\ &+\color{blue}{(4\pi^2)\text{PV}\left(\int_0^\infty \frac{1}{x^2-1}\,dx\right)}\\\\ &+\color{red}{(4\pi^2)\lim_{\epsilon \to 0^+}\int_{\pi}^{2\pi} \frac{1}{(1+\epsilon e^{i\phi})^2-1}\,(i\epsilon e^{i\phi})\,d\phi}\\\\ &=-i4\pi\int_0^\infty \frac{\log(x)}{x^2-1}\,dx+\color{blue}{0}+\color{red}{i2\pi^3}\tag 4 \end{align}$$

Finalmente, la resolución de $(4)$ para la integral de intereses rendimientos de

$$\frac12\int_0^\infty \frac{\log(x)}{x^2-1}\,dx=\frac{\pi^2}{8}$$

y, por tanto, nos encontramos con que la serie es de interés

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2}=\frac{\pi^2}{8}}$$

Answer 4

No es una serie geométrica.

Sugerencia: considere el Problema de Basilea. Considerar la suma de condiciones. Restar.