¿Cuáles son los epimorphisms en la categoría de los espacios de Hausdorff?

Question

Parece ser el caso de que el epimorphisms en $\text{Haus}$ son precisamente los mapas con imagen densa. Esto se dice en varios lugares, pero un comentario en mi blog me ha hecho dudar de la fuente tengo mi prueba de (Borceux).

Borceux del argumento crucial utiliza el siguiente resultado:

Si $A \subset X$ es un subespacio cerrado de un espacio de Hausdorff $X$, entonces el cociente $X/A$ es de Hausdorff.

Este parece ser falsa. Como lo que yo puedo decir, si $X/A$ es Hausdorff, entonces $A$ y de los puntos en $X$ no $A$ deben estar separados por la apertura de los barrios en $X$. Pero si esto es cierto para cada subespacio cerrado $A$$X$, $X$ es necesariamente regular, y hay ejemplos de Hausdorff espacios que no son regulares.

Así que: ¿es cierto que el epimorphisms son precisamente los mapas con densa de la imagen? Si es así, ¿qué es una correcta prueba de ello?

Answer 1

Sí, de acuerdo a Herrlich Y Strecker, la Sección 6.10(4). He aquí el argumento:

Si $A\overset{f}\longrightarrow B$ es un epimorphism, vamos a $C$ ser distinto topológico de la unión de dos 'copias' de $B$ donde los puntos correspondientes de la clausura de la $f[A]$ han sido identificados, y deje $h$ $k$ ser los dos naturales de mapas de$B$$C$.

Que tan lejos como se escribe realmente a cabo, pero claramente el resto es que $h\circ f=k\circ f$, e $f$ es un epimorphism, por lo $h=k$, e $f[A]$ por lo tanto debe ser denso en $B$.

Agregado: A ver que $C$ es realmente Hausdorff, dejar que las copias de $B$$B_0=B\times\{0\}$$B_1=B\times\{1\}$, vamos a $K=\operatorname{cl}f[A]$, y deje $K_i=K\times\{i\}$$i\in\{0,1\}$. Por último, vamos a $q:B_0\sqcup B_1\to C$ ser el cociente mapa. Claramente $q(\langle x,i\rangle)$ $q(\langle y,j\rangle)$ pueden ser separados por distintos bloques abiertos en $C$ siempre $x\ne y$, independientemente de $i$$j$. Si $q(\langle x,0\rangle)\ne q(\langle x,1\rangle)$,$x\in B\setminus K$, un subconjunto abierto de $B$, lo $q[B_0\setminus K_0]$ $q[B_1\setminus K_1]$ son disjuntas abrir nbhds de $q(\langle x,0\rangle)$$q(\langle x,1\rangle)$.

Answer 2

Este debe ser un comentario en lugar de una respuesta, pero no tengo suficiente rep.

HTop es en realidad el más grande de la subcategoría de Top cerrado bajo límites finitos (como se calcula en la parte Superior), donde todos los mapas con densa de la imagen son epi:

Si $X$ no es Hausdorff entonces el ecualizador de las proyecciones $\pi_{1},\pi_{2}:X\times X\rightarrow X$, que es solo la diagonal $\delta:X\rightarrow X\times X$, no está cerrado. (Recordemos que un espacio es Hausdorff si la diagonal es cerrado).

Deje $C$ denotar el cierre de la diagonal en $X\times X$, vamos a $d$ denotar la factorización de $\delta$ a través de $C$, y deje $p_{1}$ $p_{2}$ denotar las restricciones de $\pi_{1}$ $\pi_{2}$ $C$respectivamente. A continuación, la imagen de $X$ es denso en $C$$p_{1}\circ d = p_{2} \circ d$, pero $p_{1}\neq p_{2}$, lo $d$ no es epi.

Esto demuestra el hecho de Andy menciona en los comentarios, que ecualizadores son subespacios cerrados en HTop, es esencial.

Answer 3

En Topología y Groupoids, p. 128, se ha demostrado que la contigüidad espacio de $B \; _f\sqcup X$ es Hausdorff si (a) $B$ $X$ son Hausdorff, (b) cada una de las $x \in X \backslash A$ tiene un barrio cerrado en $X$ y no encuentro $A$, y (c) $A$ es un barrio retractarse de $X$.

No sé si estas condiciones puede ser debilitada por el caso de las $X/A$.

Debo decir que esto es realmente un comentario sobre los comentarios en lugar de una respuesta a la pregunta!