Inversa fracciones continuas

Question

Básicos de fracciones continuas surgen de relaciones de recurrencia, tales como:

$$ n = a + \frac{b}{n}, $$

Esto da lugar a la continuación de la fracción:

$$ n = a + \frac{b}{a+\frac{b}{a+\frac{b}{a+...}}}. $$

¿Qué acerca de las relaciones, tales como:

$$ n = a + \frac{n}{b}? $$

Hacer estas dan lugar a cosas como:

$$ n = a + \frac{a+\frac{a+\frac{a+\frac{a+\frac{a+...}{b}}{b}}{b}}{b}}{b}? $$

Por supuesto, sólo pudo resolver la ecuación original:

\begin{align} n &= a + \frac{n}{b} \\ n(1-b^{-1}) &= a \\ n &= \frac{a}{1-b^{-1}}. \end{align}

Pero no podía por encima de la inversa", continuó fracción" ser generalizado como el habitual para crear interesantes estructuras y definiciones de la conocida constantes? Por ejemplo, uno puede obtener este resultado extraño para $n=a + \frac{n}{b²}$ mediante el establecimiento $a=1$$b=\sqrt{2}^{-1}$:

$$ -1 = 1 + \frac{1+\frac{1+\frac{1+\frac{1+\frac{1+...}{\sqrt{2}^{-1}}}{\sqrt{2}^{-1}}}{\sqrt{2}^{-1}}}{\sqrt{2}^{-1}}}{\sqrt{2}^{-1}}? $$

Es este conocido/de cualquier interés particular?

Answer 1

Tenga en cuenta que $$n = a + \frac{a+\frac{a+\frac{a+\frac{a+\frac{a+...}{b}}{b}}{b}}{b}}{b}=a+\frac ab + \frac a{b^2}+ \frac a{b^3} +\ldots$$ le da una serie geométrica. Si las constantes varían todavía es sólo otra manera de escribir una infinita suma, por lo que no ofrece nada nuevo.

Answer 2

Veo lo de Tiburón significa: con un infinito periódico convencional.c.f. usted obtiene una ecuación cuadrática para el valor límite, pero con un inversa c.f. usted consigue solamente una ecuación lineal.

Jugando con su idea: que $\pi = 3 + (1 + x_1)/n_1$ donde $x_1 > 0$ $n_1$ es un número entero. Al menos $n_1$ que va a hacer es $8$, por lo que el uso que. Luego de expresar $x_1 = (1 + x_2)/n_2$, tomando el mínimo de $n_2$, que pasa a ser el 8 de nuevo. Proceder de esta manera y obtener

$$\pi = 3 + {1 + {1 + {1 +{1 + {{1 + \ldots}\over 300}\over 19}\over 17}\over 8}\over 8}$$

La secuencia de $3; 8, 8, 17, 19, 300, \ldots$ es no decreciente, y esto siempre sucede después de que el primer término (por qué?). Para $\sqrt2$ obtenemos $1; 3, 5, 5, 16, 18, 78, 102, 120, 144, \ldots$, duro ver a un patrón de allí. Para $e$ obtenemos (ah!) $2; 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, \ldots$. Pero, ¿cómo demostrarlo?