Demostrar mediante diferenciación que la integral $\int_0^\pi \frac{\log(1+\cos\alpha\cos\theta)}{\cos\theta}\,d\theta = \pi(\frac{\pi}{2}-\alpha) $

Question

Demostrar mediante diferenciación que la integral $$\int_0^\pi \frac{\log(1+\cos\alpha\cos\theta)}{\cos\theta}\,d\theta$$ es igual a $$ \pi\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) $$ donde $0\leq \alpha\leq \frac{\pi}{2}.$

Después de diferenciar parcialmente wrt $\alpha$ He probado a través de la sustitución;

$$u=\log(1+\cos\alpha\cos\theta)$$

Entonces me sale;

$$\frac{dI(\alpha)}{d\alpha}=-\sin\alpha\int_0^\pi \frac{1}{1+\cos\alpha\cos\theta}\,d\theta$$

Actualmente no puedo ver cómo progresar esto a la respuesta declarada.

Por favor, muestre el trabajo completo.

La pregunta está sacada de "Mathematical Methods for Science students" de G Stephenson, página 172.

Answer 1

Dejemos que $I(\alpha)$ sea la integral de interés dada por

$$I(\alpha)=\int_0^\pi \frac{\log(1+\cos(\alpha)\cos(\theta))}{\cos(\theta)}\,d\theta$$

Diferenciando $I(\alpha)$ obtenemos

$$\frac{dI(\alpha)}{d\alpha}=-\sin(\alpha)\int_0^\pi\frac{1}{1+\cos(\alpha)\cos(\theta)}\,d\theta$$

Obsérvese que podemos utilizar el clásico Sustitución del ángulo medio de la tangente para evaluar la integral

$$f(\alpha)=\int_0^\pi \frac{1}{1+\cos(\alpha)\cos(\theta)}\,d\theta=\frac{\pi}{\sin(\alpha)}$$

Por lo tanto, tenemos $\frac{dI(\alpha)}{d\alpha}=-\pi$ con lo que la integración da como resultado

$$I(\alpha)=-\pi \alpha +C$$

Observando que $I(\pi/2)=0$ revela

$$I(\alpha)=\pi(\pi/2-\alpha)$$

¡como se iba a mostrar!

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NOTA:

Para llegar a la expresión de forma cerrada para $f(\alpha)$ aplicamos la sustitución $t=\tan(x/2)$ . Entonces, $\cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$ , $dx=\frac{2}{1+t^2}\,dt$ y los límites se extienden desde $t=0$ a $t=\infty$ para revelar

$$\begin{align} f(\alpha)&=\frac{1}{\sin^2(\alpha/2)}\int_0^\infty \frac{1}{\cot^2(\alpha/2)+t^2}\,dt\\\\ &=\frac{1}{\sin^2(\alpha/2)}\frac{1}{\cot(\alpha/2)}\left.\left(\arctan\left(\frac{t}{\cot(\alpha/2)}\right)\right)\right|_{0}^{\infty}\\\\ &=\frac{1}{\frac12\sin(\alpha)} \,\frac{\pi}{2}\\\\ &=\frac{\pi}{\sin(\alpha)} \end{align}$$