¿Cuál es la definición (o algunas fuentes) de la transformada de Fourier de armónicos esféricos ?
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zs_int
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Este problema puede hacerse de forma sencilla, al menos formalmente: utilizar la expansión de la onda plana en armónicos esféricos y funciones esféricas de Bessel ,
$$e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}} = (4\pi)\sum_{lm} i^l j_l(kr) Y_{lm}(\hat{k})Y_{lm}^*(\hat{r})$$
Entonces tenemos
$$FT\{Y_{l'm'}(\hat{r})\}(\hat{k})=\sum_{lm}Y_{lm}(\hat{k})i^l\int d^3\vec{r} j_l(kr) Y_{lm}^*(\hat{r})Y_{l'm'}(\hat{r}).$$
La integral angular puede hacerse por ortogonalidad de los armónicos esféricos, estableciendo $lm = l'm'$ Así que nos encontramos con
$$FT\{Y_{l'm'}(\hat{r})\}(\hat{k})=Y_{lm}(\hat{k})4\pi i^l \int r^2 dr j_l(kr)$$ .
La integral de $j_l$ contra $r^2 dr$ es divergente porque como $x\to \infty$ todas las funciones esféricas de Bessel se comportan como $1/x$ . No obstante, esta es una representación útil porque uno puede entonces resolver el $j_l$ integral en una función delta de Dirac o en sus derivadas. Por ejemplo, utilizando la identidad
$$\int j_l(ax) j_l(bx) x^2 dx =\frac{1}{2\pi b^2}\delta_D(a-b)$$
con $l=0$ y $a=0$ la primera función esférica de Bessel llega a la unidad y tenemos la integral deseada para $l=0$ . Uno debería ser capaz de utilizar las relaciones de recursión para escribir el orden superior $j_l$ en términos de orden inferior $j_l$ y sus derivadas, y también la fórmula de Rayleigh para escribir integrales utilizando la diferenciación paramétrica cuando sea necesario.
Por ejemplo,
\begin{align} \int x^2 dx j_2(kx) &= \int x^2 dx j_0(kx) +\frac{3}{k} \int x dx j_1(kx)\\ &=\frac{\pi}{2k^2}\delta_D(k)+\frac{3\pi}{2k^3}. \end{align}
Utilizamos la relación $j_{n+1}(x)=(2n+1)j_n(x)/x-j_{n-1}(x)$ para dividir la integral y luego para la segunda integral que $\int x j_1(kx) dx=-\partial/\partial k \int j_0(kx)dx$ una aplicación de la fórmula de Rayleigh.
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Los armónicos esféricos son funciones con dominio la esfera $S^2$ . La incrustación estándar de la esfera en $\mathbb{R}^3$ no tiene una estructura de grupo, lo que significa que no se puede definir la transformada de Fourier habitual. Desde el punto de vista matemático, esto justifica la introducción de los armónicos esféricos como base para $L^2(S^2)$ ... no tenemos ningún personaje. mathoverflow.net/questions/32800/
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Mira las respuestas que has recibido a tu pregunta anterior. Además, consulta el libro de Axler Teoría de las funciones armónicas : axler.net/HFT.html (PDF de libre acceso).
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¿Puede aclarar si se refiere al polinomios (que se definen en todos los $\mathbb R^n$ ), y la genuina transformada de Fourier euclidiana, o te refieres al análisis armónico en la propia esfera (que trata de la teoría de la representación de $O(n)$ un grupo no abeliano, pero compacto). En el primer caso, esas transformadas de Fourier puede pueden ser evaluados como transformadas de Fourier de distribuciones templadas, de nuevo utilizando un poco de teoría de repn de $O(n)$ . En este último caso, los armónicos esféricos ya son en sí mismos las funciones propias en términos de las cuales se expanden otras cosas.