Axiomático marco utilizado para la Clase de Forzar

Question

En la Clase de Forzar, inevitablemente se tiene que discutir adecuado de las clases de hormigón objetos matemáticos.

Por ejemplo, en la definición de pretameness en el Capítulo 8 definición 2.2 del Manual, hablamos de una secuencia de clases, que después hemos de enumerar. Estoy tratando de entender en qué marco axiomático podríamos estar trabajando.

En ZFC no podemos hablar acerca de las clases de esta manera. En NBG podemos hablar de clases, pero no podemos cuantificar sobre ellos. Específicamente, si una clase es un miembro de otra clase, entonces debe ser un conjunto, por lo que no podemos hablar de una secuencia infinita de ellos. Pero nuestra secuencia es de adecuado de las clases. Si subimos a MK, entonces nuestra teoría no es un conservador extensión de ZFC más, y que realmente no puede estar seguro de que nuestras conclusiones acerca de los conjuntos de son válidos en ZFC.

Alternativamente, se podría intentar justificar nuestra discusión de trabajo dentro de $V_\kappa$, para algunas de las $\kappa$ inaccesible cardenal. Entonces todos nuestros molesto clases de convertirse en conjuntos. Pero esto presupone la existencia de un cardenal, que no creo que la teoría de la clase, obligando realmente depende.

En lo axiomático marco estamos trabajando en cuando se habla de la clase de forzar?

Answer 1

Primero de todos, usted puede cuantificar las clases en NBG. No sería mucho de una clase habilitado para la teoría de conjuntos de otro modo. Lo que no puede hacer, sin embargo, es el uso de la Comprensión con la clase de los cuantificadores.

Tenga en cuenta que al igual que en ZFC, si usted puede de manera uniforme índice de sus clases, entonces, lo que tienes es una clase de $\{\langle i,v\rangle\mid i\in I, \varphi(v,i)\}$ donde $\varphi$ es una definición uniforme (por ejemplo, un modelo de terreno puede ser definido de manera uniforme con los parámetros variables). En ese caso, el $i$th clase se obtiene simplemente tomando $\{x\mid\varphi(v,i)\}$. Sin duda es un objeto de la teoría, y la Comprensión de la realidad está dentro del poder de NBG (e incluso ZFC, si considera que las clases formales de los objetos).

Así que usted puede utilizar NBG para formalizar la clase de forzamiento. Cada vez que se cuantificación de las clases, si es necesario, esto se puede convertir en un esquema teorema. Es decir, un teorema, donde hay un meta-teórico el cuantificador universal, pero la teoría (en este caso NBG) demuestra que cada instancia. Esta situación es similar a la prueba de que $L$ es un modelo de ZFC, que es en sí mismo un esquema teorema.

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En cualquier caso, ha habido una gran cantidad de trabajos recientes sobre el tema. Puedes empezar por mirar los siguientes documentos:

1. El Suelo Axioma, Jonas Reitz la tesis de Doctorado que incluye un apéndice con el marco para la clase de forzamiento.

2. Clase forzar, obligar teorema Booleanas y terminaciones, por Pedro Santo, Regula Krapf, Philipp Lücke, Ana Njegomir, Philipp Schlicht.

3. Las caracterizaciones de pretameness y el Ord-cc, por Pedro Santo, Regula Krapf, Philipp Schlicht.

4. Condiciones suficientes para la obligando teorema, y girando a la adecuada clases en grupos, por Pedro Santo, Regula Krapf, Philipp Schlicht.

5. La intensidad exacta de la clase, obligando teorema, por Victoria Gitman, Joel David Hamkins, Pedro Santo, Philipp Schlicht, Kameryn Williams.