¿Reversión de una dirección espacial contar como una discreta transformación de Lorentz?

Question

Una transformación $\Lambda$ es una transformación de Lorentz si satisface $\Lambda^T g \Lambda = g$, para el plano métrico $g = \left( \begin{array}{cccc} 1 &&& \\ & -1 &&& \\ &&-1&& \\ &&&-1 \end{array} \right) $

Además de las rotaciones y aumenta, el tiempo de inversión ($T: t \rightarrow -t$) y la paridad ($P: x_i \rightarrow -x_i$ para todas las coordenadas espaciales) son señalados como los discretos transformación de Lorentz. Me parece que la inversión de una sola coordenada espacial ($x_1 \rightarrow -x_1$, todos los demás sin cambios) también satisface la definición de una transformación de Lorentz. Así que la pregunta es: ¿por qué no es considerado como otro discreta transformación, junto a $T$$P$?

Answer 1

Comentarios a la pregunta (v2):

1. Recordemos que el grupo de Lorentz $G=O(3,1)$ tiene 4 componentes conectados $$ G~=~G_0 ~\cup~ P\cdot G_0 ~\cup~ T\cdot G_0 ~\cup~ PT\cdot G_0. $$ Aquí los componentes conectados a $G_0$ que contiene la identidad es el restringido grupo de Lorentz $G_0=SO^+(3,1)$.

2. Es sencillo ver que $G_0$ es un subgrupo normal de $G$. Por lo tanto, el cociente $G/G_0$ es un grupo.

3. Para el grupo de Lorentz $G=O(3,1)$, el cociente $G/G_0$ es isomorfo a la Klein Vierergruppe $V\cong \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$, el cual es generado por dos elementos.

4. Por otra parte, el cociente $G/G_0$ es discreto. Formalmente hablando, los elementos de $G/G_0$ constituyen los "discretos transformaciones de Lorenz'. En la práctica, a menudo se elige un representante de cada clase de equivalencia, y llamó a estos representantes de la "discreta transformación de Lorentz", con el entendimiento implícito de que uno podría elegir otros representantes, que se desvían con elementos de $G_0$.

5. Volviendo a OP ejemplo, la diferencia entre el $P$ y el reflejo del espejo $x^1 \mapsto -x^1$ $(x^2,x^3)$- plane es un $\pi$-rotación alrededor de la $x^1$-eje, que pertenece a $G_0$, cf. comentario de arriba por Cheng Meng.

Answer 2

Una sola transformación no es estrictamente hablando discretos, pero un grupo de transformaciones puede ser. Cada transformación de finito de orden (es decir, $\Lambda^n = I$ algunos $n$) genera un discreto grupo de transformaciones, por lo que los elementos de orden finito a veces se llaman discretos transformaciones.

Como Qmechanic explica, $T$ $P$ generar un subgrupo de coset representantes de los componentes conectados. Hay muchas otras coset representantes, aunque. Por qué $T$ $P$ obtener un tratamiento especial es principalmente estética y/o razones físicas: si llamamos a $S$ la transformación de asignación de $x\mapsto -x$ (y dejando $t$, $y$ y $z$ virgen), entonces también podríamos escribir

$$ O(3,1)~=~SO^+(3,1) ~\cup~ S\cdot SO^+(3,1)~\cup~ T\cdot SO^+(3,1) ~\cup~ ST\cdot SO^+(3,1). $$

Matemáticamente esto está muy bien, pero estéticamente es menos agradable porque esto no tratar las dimensiones espaciales en forma casi simétrica, mientras que el grupo en sí no.