Punto y coma en la expresión de probabilidad

Question

Me encuentro con esta fórmula al leer un tutorial:

$$ \begin{align} P(\pi|\mathbf L;\gamma_{\pi1}, \gamma_{\pi0}) & =P(\mathbf L|\pi)P(\pi|\gamma_{\pi1},\gamma_{\pi0})\tag{28} \\ &\propto [\pi^{C_1}(1-\pi)^{C_0}][\pi^{\gamma_{\pi1}-1}(1-\pi)^{\gamma_{\pi0}-1}]\tag{29}\\ &\propto\pi^{C_1+\gamma_{\pi1}-1}(1-\pi)^{C_0+\gamma_{\pi0}-1}\tag{30} \end{align} $$

Me preguntaba para la fórmula (28), si obtenemos el lado izquierdo del lado derecho, por qué el lado izquierdo de la ecuación es $P(\pi \mid \mathbf L;\gamma_{\pi1}, \gamma_{\pi2})$ en lugar de $P(\mathbf L \mid \gamma_{\pi1}, \gamma_{\pi2})$ (según la regla de la cadena)?

Edición: Este es el enlace del tutorial . Básicamente, se trata de derivar un muestreador de Gibbs para el modelo Naive Bayes y la figura 4 es la representación en forma de placa de su modelo gráfico. $\pi \sim Beta(\gamma_{\pi1}, \gamma_{\pi2})$ , $L \sim Bernoulli(\pi)$ . $C_{0}$ y $C_{1}$ denotan todos los documentos con etiqueta negativa y todos los documentos con etiqueta positiva, respectivamente.

Answer 1

Este es un Teorema de Bayes aplicación, como en: $$P(A|B)\sim P(B|A)P(A)$$

El punto y coma separa los parámetros, en tu caso es $\gamma_{\pi1}, \gamma_{\pi0}$ . Así, la ecuación 28 tiene en el lado derecho la distribución de probabilidad de $\pi$ dados los parámetros $\gamma_{\pi1}, \gamma_{\pi0}$ denotado como: $P(\pi|\gamma_{\pi1},\gamma_{\pi0})$ . Por lo tanto, se puede mapear $A=L$ , $B=\pi$ para ver cómo se aplica aquí el teorema de Bayes.