valor principal como distribución, escrito como integral sobre la singularidad

Question

Dejemos que $C_0^\infty(\mathbb{R})$ sea el conjunto de funciones suaves con soporte compacto en la recta real $\mathbb{R}.$ Entonces, el mapa

$$\operatorname{p.\!v.}\left(\frac{1}{x}\right)\,: C_0^\infty(\mathbb{R}) \to \mathbb{C}$$

definida mediante el valor principal de Cauchy como

$$ \operatorname{p.\!v.}\left(\frac{1}{x}\right)(u)=\lim_{\varepsilon\to 0+} \int_{\mathbb{R}\setminus [-\varepsilon;\varepsilon]} \frac{u(x)}{x} \, \mathrm{d}x \quad\text{ for }u\in C_0^\infty(\mathbb{R})$$

Ahora bien, ¿por qué $$ \lim_{\varepsilon\to 0+} \int_{\mathbb{R}\setminus [-\varepsilon;\varepsilon]} \frac{u(x)}{x} \, \mathrm{d}x = \int_0^{+\infty} \frac{u(x)-u(-x)}{x}\, \mathrm{d}x $$ por qué la integral está definida a la izquierda.

Answer 1

Podemos escribir $$I(\varepsilon):=\int_{\Bbb R\setminus [-\varepsilon,\varepsilon]}\frac{u(x)}xdx=\int_{-\infty}^{-\varepsilon}\frac{u(x)}xdx+\int_{\varepsilon}^{\infty}\frac{u(x)}xdx.$$ En la primera integral de los RH, hacemos la sustitución $t=-x$ entonces $$I(\varepsilon)=-\int_{\varepsilon}^{+\infty}\frac{u(t)}tdt+\int_{\varepsilon}^{\infty}\frac{u(x)}xdx=\int_{\varepsilon}^{+\infty}\frac{u(t)-u(-t)}tdt.$$ Ahora podemos concluir, ya que, por el teorema fundamental del análisis, la integral $\int_0^{+\infty}\frac{u(t)-u(-t)}tdt$ es convergente. De hecho, $$u(t)-u(-t)=\int_{-t}^tu'(s)ds=\left[su'(s)\right]_{-t}^t-\int_{-t}^tsu''(s)ds\\= t(u'(t)+u'(-t))-\int_{-t}^tsu''(s)ds$$ por lo tanto, para $0<t\leq 1$ $$\frac{|u(t)-u(-t)|}t\leq 2\sup_{|s|\leq 1}|u'(s)|+2\sup_{|s|\leq 1}|u''(s)|.$$

Answer 2

Porque $1/x$ es una función impar. Así, descomponiendo $u(x)$ en sus partes impar y par, es decir

$$u(x)=\frac{u(x)+u(-x)}{2}+\frac{u(x)-u(-x)}{2}$$

tenemos

$$\lim_{\varepsilon \to 0} \int_{\lvert x \rvert > \varepsilon} \frac{u(x)}{x}\, dx= \lim_{\varepsilon \to 0} \left(\int_{\lvert x \rvert > \varepsilon} \frac{u(x)+u(-x)}{2x}\, dx + \int_{\lvert x \rvert > \varepsilon} \frac{u(x)-u(-x)}{2x}\, dx\right)$$

y la primera integral del lado derecho desaparece porque su argumento es impar. Por el contrario, la segunda integral tiene un argumento par, por lo que podemos reescribirla como sigue:

$$\lim_{\varepsilon \to 0}\int_{\lvert x \rvert > \varepsilon} \frac{u(x)-u(-x)}{2x}\, dx = \lim_{\varepsilon \to 0} \int_\varepsilon^\infty \frac{u(x)-u(-x)}{x}\, dx.$$