El teorema estoy leyendo es como sigue:
Supongamos $G$ está conectado a un plano gráfico. Deje $T$ ser el conjunto de aristas en $G$ que forman un árbol de expansión y deje $T^*$ ser el conjunto de todos los bordes que son duales de los bordes no en $T$. Entonces los bordes de $T^*$ forma de un árbol de expansión de $G^*$.
La prueba de que quiero entender (de este libro) continúa mostrando que $T^*$ es acíclico y luego se conecta. Lo que tengo duda es en que $T^*$ está conectado. El argumento (que ha cambiado un poco desde el libro) es la siguiente:
Nos muestran que $T^*$ está conectado. Para probar que esto deje $T^*=T_1\sqcup T_2$. Deje $U$ ser la unión de las regiones en $G$ con capital en $T^*$. $U$ no es todo el plano (sin punto de $T_2$ pertenece a ella). Por lo tanto el límite de $B$ $U$ es no-vacío. Ahora $B$ se compone de ciertos bordes de $T$, teniendo una región de $U$ en un lado y una región que no se en $U$ en el otro lado. Por lo tanto, no hay ningún vértice de grado $1$ sobre el límite, que es un contradicción porque eso significaría que el límite de los rendimientos de un ciclo en el $T$. Por lo $T^*$ es un árbol de expansión.
No entiendo qué es $U$ y porqué $B$ será la forma en que describe. ¿Qué hace el autor decir, por el capital?
