Grupo con dos generadores de orden 3 es finito

Question

Dos elementos % genera un grupo $G$ $a$y $b$ tal que para cualquier $g\in G:$ $g^3=e$. Mostrar que $G$ es finito.

No entiendo cómo esto es así. No sé si $G$ es abeliano, por lo que se puede construir más y más elementos del grupo de la forma $abababababababab...$ que no pueden simplificarse. ¿Cómo sé que $G$ es finito?

(Si es abeliano, podría simplemente lista todos los elementos $e,a,a^2,b,b^2,ab,a^2b,ab^2,a^2b^2$.)

Answer 1

Cada elemento de a $G$ puede ser escrito como el producto de cero o más factores de $\in\{a,b,a^{-1},b^{-1}\}$, es decir, para $g\in G$ existe $n\in\mathbb N_0$ y $x_i\in\{a,b,a^{-1},b^{-1}\}$, $1\le i\le n$, tal que $g= x_1x_2\ldots x_n$. Para $g\in G$ deje $l(g)$ ser el más pequeño $n$ que puede ser utilizado.

Fix $g\in G$ y deje $g=x_1x_2\ldots x_n$ con $n=l(g)$, $x_i\in\{a,b,a^{-1},b^{-1}\}$.

Lema 1. Si $1\le k<n-2$$x_{k+2}=x_k^{\pm1}$.

Prueba. Como $aa$ puede ser shortend a $a^{-1}$ y así sucesivamente, sabemos que $x_{k+1}$ "usa la otra carta" de $x_k$, por lo tanto $x_{k+2}$ ", utiliza la misma letra" de nuevo como $x_k$ y por lo tanto puede ser el mismo o la inversa de $x_k$. $_\square$

Lema 2. Si $1\le k\le n-3$$x_k=x_{k+2}^{-1}$. Si $2\le k\le n-2$$x_k=x_{k+2}^{-1}$.

Prueba. De lo contrario, con $u=x_k$, $v=x_{k+1}$ tenemos uno de los siguientes para $x_kx_{k+1}x_{k+2}x_{k+3}$: $$\underbrace{uvuv}_4=(uv)^2=(uv)^{-1}=\underbrace{v^{-1}u^{-1}}_2$$ o $$\underbrace{uvuv^{-1}}_4=uvuv\cdot v=\underbrace{v^{-1}u^{-1}v}_3$$ contradiciendo minimality de $n$. La segunda afirmación de la siguiente manera por la simetría / considerando el reverso de la palabra. $_\square$

Esto nos permite estimar el número de elementos en $G$ con la longitud dada:

• Hay un elemento, $e$, de longitud $0$
• Hay hasta cuatro elementos de la longitud de la $1$
• Hay hasta el $8$ elementos de la longitud de la $2$: Elegir uno de los cuatro primeros símbolos, a continuación, elija uno de los dos símbolos con "la otra carta" como segundo.
• Hay hasta el $16$ elementos de la longitud de la $3$: Continuando desde arriba, hay dos opciones para el tercer símbolo (por el lema 1)
• Si $n>3$, a continuación, existen en la mayoría de las $8$ elementos de la longitud de la $n$: Cuatro opciones para el primer símbolo, dos para el segundo, y, a continuación, $x_3,\ldots, x_{n-1}$ son determinados por el lema 2 (primera frase) y $x_n$ por lema 2 (segunda frase).

Especialmente, los elementos de la longitud de la $7$ son de la forma $$\begin{align}\underbrace{xyx^{-1}y^{-1}xyx}_7 &=(xyx^{-1}y^{-1})^2yx^2\\ &=(xyx^{-1}y^{-1})^{-1}yx^{-1}\\ &=\underbrace{yxy^{-1}x^{-1}yx^{-1}}_6\end{align}$$ y por lo tanto no puede ocurrir; ni puede longitudes mayores. Llegamos a la conclusión de $$|G|\le 1+4+8+16+8+8+8=53.$$ Como $|G|$ debe ser una potencia de $3$ (Sylow), llegamos a la conclusión de $$|G|\le 27.$$