Grupos de orden $p^aq^br^c$ contiene elementos de orden $pq$, $qr$, y $pr$, pero no $pqr$

Question

Deje $G$ ser solucionable grupo de orden $p^aq^br^c$ (para los distintos prime $p,q,r$) que contenga elementos de pedidos $pq$, $qr$, y $pr$, pero ningún elemento de orden $pqr$. Además, suponga que $G$ es mínima con respecto a esta propiedad, es decir, cualquier subgrupo de $G$ carece de un elemento de orden $pq$, $qr$, o $pr$.

1. ¿Cuáles son algunos ejemplos de grupos como este? $^\star$

2. Puede que se caracteriza? Hay propiedades adicionales que provienen de estas condiciones?

$^\star$ Nota: trivialmente, es suficiente para la búsqueda de grupos que contienen elementos de pedidos $pq$, $qr$, y $pr$, pero ningún elemento de orden $pqr$, entonces podemos tomar subgrupos hasta encontrar a uno la satisfacción de las minimality de la propiedad. Así, también me gustaría disfrutar de escuchar acerca de cualquier no-mínimo ejemplos de este tipo, ya que contienen un mínimo de ejemplos.

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Cosas que puedo decir:

Si cualquier subgrupos de $G$ han pedido $p^xq^yr^z$ ($x,y,z>0$), tienen que venir en uno de tres tipos:

1. Frobenius grupo cuyo Frobenius el núcleo es un $p$-grupo y Frobenius complemento es el producto de una $q$- $r$- grupo. Esto significa que el $q$ $r$ grupos son cíclicos o generalizada de cuaterniones, y que $q^yr^z\mid p^x-1$.

2. Frobenius grupo cuyo Frobenius kernel es el producto directo de una $q$- $r$- grupo y Frobenius complementar $p$-grupo. Por eso, $p^x\mid q^yr^z-1$, y el $p$-grupo es cíclico o generalizada de cuaterniones.

3. Si no hay elementos de orden $pq$ o $qr$, todavía hay un elemento de orden $pr$, y el grupo tiene la forma $G=PQR$ (donde $P$, $Q$, y $R$ son subgrupos de la correspondiente potencia principal de la orden) con $Q$ cíclica $q$-grupo de orden impar, $R$ cíclica $r$-grupo, donde $PQ$ es un Frobenius grupo cuyo núcleo es $P$ $QR$ es también un Frobenius grupo cuyo núcleo es $Q$. (El correspondiente primer congruencias mantenga similar a la de #1 y #2.)

Creo que si hacemos grupo $P$ y el grupo de $Q$ primaria abelian de dimensión $r$ y, a continuación, deje $R$ ser un grupo cíclico de primer orden con una acción fiel, $$(a_1,a_2,\ldots, a_{r-1},a_r)\mapsto (a_2,a_3,\ldots, a_r,a_1)$$ (same on both $P$ and $P$,) entonces funciona, es cierto?

Answer 1

Desde todos los $\{p,q \}$-subgrupos están contenidas en una Sala de $\{p,q\}$-subgrupo de hasta conjugacy, podemos suponer (por simetría en p,q,r) que una mínima tales $G$ (de orden divisible por $pqr$) tiene una Sala de$\{p,q \}$-subgrupo $H$ que no contiene ningún elemento de orden $pq$ y cuyo Montaje subgrupo es una $p$-grupo. Más allá de eso, nadie más puede decir (aparte de describir la posible estructura de $H$ sí, como ya ha hecho a sí mismo). Para una solución de grupo $G$ con un Hall de $\{p,q\}$-subgrupo $H$ ciertamente no contiene ningún elemento de orden $pqr,$ ya que no contiene ningún elemento de orden $pq.$ se puede deducir que el $H$ debe ser un subgrupo maximal de a $G$ por el minimality de $G.$ También, sin el adecuado subgrupo de $G$ puede tener un orden divisible por $pqr,$ como cada apropiado subgrupo de $G$ de orden divisible por $pqr$ tendría un Hall de $\{p,q\}$-subgrupo de la misma clase. Esto implica que $F(G)$ es Abelian de squarefree exponente. Si $|F(G)|$ es divisible por dos primos, a continuación, $F(G)$ tiene el primer índice. En cualquier caso, $F(G)$ es Abelian de squarefree exponente.