Mínimo de una forma cuadrática

Question

Si $\bf{A}$ es una verdadera matriz simétrica, sabemos que ha ortogonal de vectores propios. Ahora, digamos que quiere encontrar un vector unitario $\bf{n}$ que minimiza el formulario: $${\bf{n}}^T{\bf{A}}\ {\bf{n}}$$ ¿Cómo se puede demostrar que este vector está dada por el vector propio correspondiente al mínimo autovalor de a $\bf{A}$?

Tengo una prueba de mi mismo, pero en lugar unelegant - ¿cómo lo harías probar esto?

Answer 1

Deje $A=UDU^T$ ser su eigen de descomposición. A continuación, $D$ es una matriz diagonal con todos los autovalores como las entradas de la diagonal. Entonces tenemos \begin{align} \min_{n^Tn=1}~n^TAn\\&=\min_{u^Tu=1}u^TDu ~~~\{u=Un\} \\ &=\min_{x\in\mathbb{S}}\sum_{i}x_iD_{ii}~~~~~~~~~ \end{align} donde $$\mathbb{S}=\{(x_1,\dots,x_N)\in\mathbb{R}^N\mid x_i\geq 0,~~\sum_{i}x_i=1\}$$ El último paso es equivalente a \begin{align} \min_{x\in\mathbb{S}}\sum_{i}x_iD_{ii}=\min_{i}D_{ii} \end{align} y también se nota que \begin{align} \max_{x\in\mathbb{S}}\sum_{i}x_iD_{ii}=\max_{i}D_{ii} \end{align}

Answer 2

Para una matriz simétrica, existe una matriz diagonal D y una ortonormales de la matriz S tal que $S^{-1}AS=D $ donde las entradas de la diagonal de D son los valores propios de a y las filas de S son los vectores propios de A. por tanto, si nos vamos a $n $ ser el vector propio correspondiente a la menor autovalor de a, a continuación, $n^TAn=\lambda $

Para impulsar esta prueba;

Una unidad autovector $v$, con la correspondiente autovalor $\lambda $ satisface;

$Av=\lambda v \Rightarrow v^TAv=\lambda$