$\lim_{n\to\infty} a_n=a$ si y sólo si $\forall p\in \Bbb N$, $\lim_{n\to\infty} |a_{n+p}-a_n|=0$

Question

Estoy haciendo ejercicios. En el libro, hay un reclamo. Esto es correcto? No estoy seguro.

Para una secuencia $\{a_n\}$, no existe un límite de $a$ tal que $\lim_{n\to\infty} a_n=a$ si y sólo si para cualquier $p\in \Bbb N$, $\lim_{n\to\infty} |a_{n+p}-a_n|=0$

Si no, podrías por favor dar algunos contraejemplos?

Gracias.

Answer 1

$a_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$ diverge, y $\displaystyle\lim_{n\to \infty} \sum_{k=n+1}^{n+p}\frac{1}{k}=0$.

Answer 2

La cuestión Es que hay una secuencia divergente tal que $(x_{k+1}-x_k)\rightarrow 0$? es muy similar. Se pide una secuencia $(a_n)$ que no tiene límite, pero tal que $\lim\limits_{n\to\infty}(a_{n+1}-a_n)=0$. Si $(a_n)$ es cualquier secuencia, entonces también es un contraejemplo para su pregunta, porque $$|a_{n+p}-a_n|\leq |a_{n+p}-a_{n+p-1}|+|a_{n+p-1}-a_{n+p-2}|+\cdots+|a_{n+1}-a_n|,$$ and the last expression goes to $0$ because it is a sum of $p$ things that all go to $0$ as $n$ goes to $\infty$.

Answer 3

Damos un ejemplo donde el límite, incluso en la "extendida" ($\infty$) sentido no existe: $$0, 1, \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{3},\frac{2}{3}, 1, \frac{3}{4}, \frac{2}{4},\frac{1}{4},0, \frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5}, \frac{4}{5}, 1, \frac{5}{6},\frac{4}{6}, \frac{3}{6}, \frac{2}{6},\frac{1}{6},0, \frac{1}{7},\frac{2}{7}\dots.$$ Cada número real entre el $0$ $1$ es un punto de acumulación de la secuencia anterior.