Generalizada Autovalor Problema

Question

Considere la posibilidad de una generalización de los Autovalor problema $Av = \lambda Bv$ donde $A$ $B$ son matrices cuadradas de la misma dimensión. Se sabe que $A$ es positivo semidefinite, y que $B$ es diagonal con un resultado positivo de las entradas.

Es evidente que la generalización de la autovalores va a ser no negativo. ¿Qué más se puede decir acerca de los valores propios de la generalizada problema en términos de los valores propios de a $A$ y las diagonales de $B$? Equivalentemente, ¿qué más se puede decir acerca de los valores propios de a $B^{-1}A$?

Parece razonable (saltando por encima de cero autovalores) que

$$ \lambda_{min} B^{-1}) \geq \lambda_{min}(A)/B_{max} $$

pero soy incapaz de ver cómo se podría rigurosamente mostrar esto, y es tal vez un conservador unido. De forma equivalente, de nuevo, ¿qué se podría decir acerca de los valores propios de

$$ B^{-1/2}AB^{-1/2} $$

?

Answer 1

Deje $A$ ser simétrica, real y positivo-semidefinite $n \times n$ matriz. Considerar la forma cuadrática $v^T Av$$\mathbb{R}^n$. Mediante la restricción de si es necesario el complemento de la nullspace de $A$, podemos suponer que WLOG que $A$ es positiva definida.

Lema: El mínimo autovalor de a $A$ es el mínimo valor de $v^T A v$ en la unidad de la esfera de $||v|| = 1$.

Esto es una consecuencia de la (prueba de) el teorema espectral. Ahora, vamos a $D = B^{-1/2}$ ser una matriz diagonal con los reales positivos entradas. ¿Cuál es el valor mínimo de $v^T DAD v = (Dv)^T A (Dv)$ en la unidad de la esfera? Bien, $||Dv||$ es al menos el más pequeño de la diagonal de la entrada$d_{min}$$D$, por lo que se deduce que el valor mínimo es de al menos $d_{min}^2$ veces el mínimo autovalor de a $A$. La conclusión de la siguiente manera.

$D$ diagonal no es esencial a este argumento; tan sólo debe ser invertible. En general $d_{min}$ debe ser reemplazado por el inverso del operador de la norma $||D^{-1}||^{-1}$ y necesitamos considerar $v^T D^T AD v = (Dv)^T A (Dv)$.