Muy interesante la Normalidad Condición (topología)

Question

Acabo de recibir a través de una investigación basada en curso introductorio de la topología, y disfruté de la experiencia de muchos. Si no estás familiarizado, esto se traduce, que nos dieron un texto lleno de teoremas y la clase consistió en el suministro de tantas pruebas como sea posible, con presentaciones de alumnos en lugar de las conferencias.

Hay un teorema que tengo un montón de uso, pero nunca fue capaz de demostrar. No fue asignado, y hablé con el profesor sobre un par de veces, pero él no tiene algún consejo para mí que no me había imaginado a mí mismo.

El texto llama la "Normalidad Lema" si eso ayuda, pero no parece ser un término estándar.

Deje $A$ $B$ ser subconjuntos de un espacio topológico $X$ y deje $\{U_i\}_{i\in\mathbb N}$ $\{V_i\}_{i\in\mathbb N}$ dos colecciones de abrir conjuntos tales que:

• $A\subseteq \bigcup_{i\in\mathbb{N}} U_i$ $B\subseteq \bigcup_{i\in\mathbb{N}} V_i$
• $\overline{U_i}\cap B$ $\overline{V_i}\cap A$ están vacías para todos los $i\in\mathbb N$.

Entonces existen abiertos disjuntos conjuntos de $U$ $V$ tal que $A\subseteq U$$B\subseteq V$.

Lo que realmente me intriga de todo esto es la countability condición. Se esta haciendo nada más que decir las colecciones deben ser infinito?

Otra interesante peculiaridad acerca de este teorema es que no muestra que el $X$ es normal explícitamente. Más bien se garantiza distintos bloques abiertos alrededor de un par específico de (lo suficientemente "amortiguada") arbitraria de conjuntos para cualquier espacio.

Alguien me puede ayudar a través de una prueba de ello?

Answer 1

$\newcommand{\cl}{\operatorname{cl}}$Este lema es en realidad la base de la prueba usual de que todos los regulares, Lindelöf espacio es normal. El countability condición no es hacer que las colecciones de abrir los conjuntos infinitos: es para asegurarse de que no son incontables.

Deje $G_0=U_0$$H_0=V_0\setminus\cl U_0=V_0\setminus\cl G_0$. Supongamos que para algunos $n\in\Bbb N$ ha definido $G_n$$H_n$, de modo que $G_n\subseteq\bigcup_{k\le n}U_k$, $H_n\subseteq\bigcup_{k\le n}V_k$, y $G_n\cap H_n=\varnothing$. Vamos

$$G_{n+1}=(G_n\cup U_{n+1})\setminus\cl H_n$$

y

$$H_{n+1}=(H_n\cup V_{n+1})\setminus\cl G_{n+1}\;;$$

claramente $G_{n+1}\subseteq\bigcup_{k\le n+1}U_k$, $H_{n+1}\subseteq\bigcup_{k\le n+1}V_k$, y $G_{n+1}\cap H_{n+1}=\varnothing$, por lo que la recursivo de construcción puede continuar.

Ahora vamos a $G=\bigcup_{n\in\Bbb N}G_n$$H=\bigcup_{n\in\Bbb N}H_n$. Claramente $G$ $H$ están abiertos. Voy a dejar de ver si usted puede demostrar que $A\subseteq G$, $B\subseteq H$, y $G\cap H=\varnothing$; no dude en pedir ayuda si la necesita.

Añadido: Usted podría estar interesado en un viejo papel de la mina en El American Mathematical Monthly: 'Más Topológico de la" Prueba de la Tietze-Urysohn Teorema, Vol. $85$, No. $3$ (Mar., $1978$), pp. $192$-$193$, JSTOR; la prueba en cuestión utiliza un lema que es probado por el mismo 'escalar una chimenea', técnica que he utilizado aquí.