Límite superior para $\Vert f \Vert^{2}$ , donde $f: [0,1] \to \mathbb{R}$ continuamente diferenciable.

Question

Dejemos que $f: [0,1] \to \mathbb{R}$ sea continuamente diferenciable con $f(0)=0$ . Demostrar que $$\Vert f \Vert^{2} \leq \int_{0}^{1} (f'(x))^{2}dx$$

Aquí $\Vert f \Vert$ viene dada por $\sup\{|f(t)|: t \in [0,1]\}$ .

No tengo muy claro cómo proceder.

Answer 1

$$ \begin{align} |f(x)|^2 &=\left|\int_0^xf'(t)\,\mathrm{d}t\right|^2\tag{1}\\ &\le\left(\int_0^x|f'(t)|\,\mathrm{d}t\right)^2\tag{2}\\ &\le\left(\int_0^1|f'(t)|\,\mathrm{d}t\right)^2\tag{3}\\ &\le\int_0^1|f'(t)|^2\,\mathrm{d}t\tag{4} \end{align} $$ Explicación:
$(1)$ : integrando la derivada
$(2)$ La convexidad de $|x|$
$(3)$ : integral sobre un dominio mayor
$(4)$ La convexidad de $x^2$

Answer 2

Sea x = argsup f. Como f(0) = 0, f(x) es la integral hasta x de f', que es menor o igual que la norma L2 de f' hasta x por convexidad de la función de cuadrado, que es menor o igual que la norma L2 de f' en todo el intervalo. Ahora elevamos al cuadrado ambos lados.