$9999\ldots9\cdot9999\ldots9$ siempre contendrá exactamente una $8$ ?

Question

¿Un número formado sólo por el dígito $9$ multiplicado por otro número formado únicamente por la cifra $9$ siempre da como resultado un número que contiene exactamente uno $8$ dígito, y ¿cómo se puede saber que esto será siempre así?

Answer 1

Dicho número es de la forma $(10^m-1)(10^n-1)=10^{(m+n)}-(10^m+10^n)+1, \text{such that}\ m,n>0.$ Está claro que sólo el $max{(m,n)}^{th}$ El dígito de la derecha será el 8.

Answer 2

Pues bien, la multiplicación puede escribirse como $$(10^x-1)(10^y-1)=10^{(x+y)}-(10^x+10^y)+1$$ por lo que el resultado será $$ 1000\ldots000-(1000\ldots00+1000\ldots000)+1=1000\ldots000-100\ldots001000\ldots000+1=9999\ldots999899\ldots99999\ldots0000+1=9999\ldots999899\ldots99999\ldots0001$$