Inducción en $2^n > n^2 - 7$.

Question

Estoy tratando de demostrar que, por inducción, que $2^n > n^2 - 7, \forall n \in \mathbb{N}$.

Estoy atascado en el paso inductivo: $n = n+1$.

$$\begin{align*} 2^{n+1} &= 2 \cdot 2^n \\ &> 2 \cdot (n^2 - 7) \tag{By I.H.} \\ &= 2 \cdot (n^2 + 2n + 1 - 10) \\ &= 2(n+1)^2 - 20 \\ &> (n+1)^2 - 17 \end{align*} $$

Que no es lo que quiero, $(n+1)^2 - 7$. Yo no estoy viendo la manera de cómo reducir la constante a 7, las sugerencias apreciado.

Answer 1

En primer lugar, $+1$ para una excelente pregunta.

En segundo lugar, se han cambiado los signos ( $>$ $<$). Sabes que $2^n > n^2-7$,y tiene que demostrarlo para $n+1$.

Para ello, tenga en cuenta que: $2^{n+1} = 2 \cdot 2^n > 2(n^2-7) > 2n^2 - 14$.

Tenga en cuenta que $2n^2 - 14 - ((n+1)^2 - 7) = (n+2)(n-4) > 0$ si $n \geq 5$.

Por lo tanto, se deduce que el $2^{n+1} > 2n^2 - 14 > (n+1)^2 - 7$$n \geq 5$. Puede comprobar el resto manualmente (se los dejo a ustedes).

Punto clave : no te preocupes si el lado derecho no inmediatamente sugieren un acabado para el argumento. En este caso, me tomó de la diferencia entre el lado derecho que yo tengo, y la CARTA que yo quería, y la naturaleza de la diferencia me permitió deducir la identidad para todos, pero un conjunto muy pequeño de los pequeños números, que era fácil de hacer manualmente.