Demostrar $\sin{2\theta} = \frac{2 \tan\theta}{1+\tan^{2}\theta}$

Question

Cómo probar: $$\sin{2\theta} = \frac{2 \tan\theta}{1+\tan^{2}\theta}$$ Ayuda por favor. No sé por dónde empezar.

Answer 1

Set $a=b=\theta $ en la identidad $$\begin{equation*} \sin (a+b)=\sin a\cdot \cos b+\cos a\cdot \sin b \end{ecuación*}$$ para obtener este $$\begin{equation*} \sin 2\theta =2\sin \theta \cdot \cos \theta . \end{ecuación*}$$ A continuación, divida la RHS por $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$ y luego se el numerador y el denominador por $\cos ^{2}\theta \neq 0$ $$\begin{equation*} \sin 2\theta =\dfrac{2\sin \theta \cdot \cos \theta }{\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta }=\dfrac{2\dfrac{\sin \theta \cdot \cos \theta }{\cos ^{2}\theta }}{ \dfrac{\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}, \end{ecuación*}$$ y simplificar.

Answer 2

$$\sin2\theta$$ $$2\cdot\sin\theta\cdot \cos\theta$$ multiplicar y dividir por $\cos\theta$ $$ 2\cdot \dfrac {\sin\theta}{\cos\theta}\cdot \cos^2\theta$$ $$2\cdot\tan\theta\cdot\cos^2\theta$$ $$\dfrac{2\cdot\tan\theta}{\sec^2\theta}$$ $$\dfrac{2\cdot\tan\theta}{1+\tan^2\theta}$$