¿Qué es esta estructura que involucra una mónada y una comadrona?

Question

Deje $F$ ser una mónada en alguna categoría $\mathsf{C}$ $G$ ser un comonad en la misma categoría. Además, supongamos que "viajar" (ver más abajo): $FG \cong GF$. Entonces, a falta de un nombre mejor, se puede definir "$(F,G)$-bimodules": objetos de $X$ equipada con un $F$-álgebra estructura y un $G$-coalgebra estructura, tanto compatibles en el sentido de que los dos mapas siguientes son iguales: $$(F(X) \to X \to G(X)) = (F(X) \to G(F(X)) \to G(X)).$$

Es este tipo de estructura estudiada? ¿Qué tipo de propiedades tiene?

Para el significado preciso de "$F$ $G$ viajar", considere el caso donde $\mathsf{C}$ es la categoría de los módulos a través de algunos conmutativa anillo, tiene un álgebra $A$, un coalgebra $C$, e $F = - \otimes A$ $G = C \otimes -$ son, respectivamente, el "derecho libre de $A$-módulo" y el "cofree izquierda $C$-comodule" functors. Luego hay un isomorfismo natural $C \otimes (M \otimes A) \cong (C \otimes M) \otimes A$, que es por otra parte compatible con la mónada y comonad estructura de los mapas de una manera que no sé cómo formalizar precisamente.

Answer 1

Una ley distributiva de una mónada $(F, \eta, \mu)$ a través de una comonad $(G, \epsilon, \delta)$ es una transformación natural $\xi : F G \Rightarrow G F$ que satisface las siguientes ecuaciones:

\begin{align} \xi \bullet \eta G & = G \eta & \xi \bullet \mu G & = G \mu \bullet \lambda F \bullet F \lambda \\ F \epsilon \bullet \xi & = \epsilon F & \delta F \bullet \xi & = G \xi \bullet \xi G \bullet F \delta \end{align}

Por ejemplo, en una categoría monoidal, si $(F, \eta, \mu)$ es la mónada inducida por una monoid y $(G, \epsilon, \delta)$ es el comonad inducida por una comonoid, entonces el asociador define un distributiva de la ley en el sentido anteriormente.

Ahora, dado un distributiva de la ley anterior, un bialgebra es un objeto $B$ $(F, \eta, \mu)$- acción $\alpha : F B \to B$ $(G, \epsilon, \delta)$- confluencia $\beta : B \to G B$ que satisface la siguiente ecuación:

$$\beta \circ \alpha = G \alpha \circ \xi_B \circ F \beta$$

Esto se estudia en más detalle en [Power y Watanabe, que Combina una monada y un comonad].