Forma cerrada de la distancia recorrida por cada esquina de un rectángulo que es simultáneamente girado y traducido

Question

La motivación, el Fondo y la Investigación

Yo soy un programador para un FRC equipo de robótica. Utilizamos un holonomic transmisión llamado Viraje, en el cual cada rueda de forma independiente girado y dirigida. Durante nuestro viaje a través de esta temporada, hemos llegado a través de algunos interesantes problemas de matemáticas, sobre todo arraigada en la trigonometría. Esta es una pregunta que nos las hemos arreglado para eludir hasta el momento, cambiando la manera en que hemos abordado algunos de los problemas. Sin embargo, todavía estoy curioso acerca de él, incluso si nunca nos terminan necesidad de saber. Cinemática inversa y otra información para el Viraje de la unidad motriz se puede encontrar aquí.

TL;DR: yo podría ser overthinking este.

Sé que hay fórmulas para el ajuste de la rueda de velocidades y títulos en el libro blanco (derivación rectangular para el caso aquí) en la página vinculada. Sin embargo, yo no puedo decir si producen el comportamiento deseado exactamente. Puede ser tan simple como la integración de las velocidades durante el tiempo necesario, pero no estoy seguro. Utilizamos una combinación de estas fórmulas y seguimiento de la trayectoria que utiliza actualmente el robot a la posición de centro, calculado por el promedio de la grabación de las posiciones de cada una de las ruedas del módulo. Podemos calcular lo que hemos hecho, pero me gustaría una forma cerrada de solución para cualquier traslación y rotación. Esto nos va a permitir seguir por la rueda de las rutas con más precisión.

Estoy tomando Cálculo II ahora, y, francamente, espero que la respuesta(s) será por encima de mi cabeza. Eso es bueno, me voy a seguir aprendiendo hasta que yo entiendo. He hecho un poco de investigación acerca de los loci, longitud de arco, funciones paramétricas, y las traducciones, pero no he sido capaz de encontrar nada sobre este problema específico.

Problema

Una nota sobre los ángulos utilizados en esta pregunta: Por la razón que sea, los ángulos de Viraje de la cinemática son wonky desde un punto de vista de las matemáticas. Son similares a los títulos en una brújula, aunque: $0^\circ$ en condiciones normales de matemáticas corresponde a $90^\circ$ en el Viraje de matemáticas, y viceversa. Los ángulos positivos son de las agujas del reloj.

Considere la posibilidad de un rectángulo con un centro punto de $R$, rotación inicial,$\alpha$, la anchura $W$, y la longitud de la $L$. Queremos traducir el rectángulo por un vector $V = \left<\Delta x,\Delta y\right>$ y giran un ángulo de $\Delta\alpha$ sobre su centro. Ambas transformaciones tienen lugar durante el mismo período de tiempo y en constante tasas. Es decir, si se tarda 10 segundos para realizar este movimiento, luego a los 5 segundos, el rectángulo del centro está a medio camino de su destino final, y su rotación es a mitad de camino entre donde estaba y donde sea. El centro de $R_i$ siempre va a estar en el segmento de $\overline{RR'}$. He construido un Geogebra modelo aquí.

Pregunta

¿Cuál es la distancia recorrida por cada uno de los vértices del rectángulo?

Answer 1

Esta respuesta podría ser innecesariamente complicados, voy a tratar de simplificar esto un poco más tarde (o alguien va a publicar más simple mientras tanto), pero debería funcionar tal y como es.

Además de su establecido en la notación, vamos a la posición del rectángulo al centro de $R=(R_x,R_y)$ y la posición inicial de la esquina bajo investigación $C_0=(C_x,C_y)$ (aquí observa que el ángulo inicial $\alpha$, la anchura $W$ y la longitud de la $L$ ya se han incorporado en estas posiciones, y que no son importantes en los cálculos posteriores). También por simplicidad vamos a suponer que el tiempo de $t\in [0,1]$ (siempre se puede lograr que por simple sustitución). Deje $C(t)$ de la posición de una esquina seleccionada en el momento $t$, se puede observar que es simplemente $$ C(t)=Rot(C_0+tV,R+tV,t\Delta\alpha) $$ donde $Rot(X,S,\Delta\alpha)$ es la rotación de punto de $X$ punto $S$ por el ángulo de $\Delta\alpha$ (de las agujas del reloj, como se indica en el modelo). Básicamente dice que traducir el punto de $C_0$ $C_0+tV$y, a continuación, girar alrededor de la traducción de un centro de $R+tV$ por el ángulo de $\Delta\alpha$.

Es bien conocido que

$$ Rot(X,S,\Delta\alpha) = \begin{bmatrix} \cos\Delta\alpha &\sin\Delta\alpha \\ -\sin\Delta\alpha &\cos\Delta\alpha \\ \end{bmatrix} (X-S)+S. $$ Denotando $C(t)=(x(t),y(t))$, después de la simplificación que hemos trayectoria del punto de la esquina se da como una curva paramétrica \begin{align} x(t)&=(C_x-R_x)\cos(\Delta\alpha t)+(C_y-R_y)\sin(\Delta\alpha t)+\Delta x\cdot t+R_x\\ y(t)&=(R_x-C_x)\sin(\Delta\alpha t)+(C_y-R_y)\cos(\Delta\alpha t)+\Delta y\cdot t+R_y.\\ \end{align} para $t\in[0,1]$. Ahora la longitud de dicha curva es conocida por ser $$l=\int_0^1 \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\, dt$$ que debido a que muchos de los parámetros puede llegar a ser muy feo, así que me limitaré a sustituir las constantes a lo largo de la manera de mantener las cosas simples. Así que vamos a \begin{align} u&=C_x-R_x\\ v&=C_y-R_y, \end{align} entonces \begin{align} x(t)&=u\cos(\Delta\alpha t)+v\sin(\Delta\alpha t)+\Delta x \cdot t+R_x\\ y(t)&=-u\sin(\Delta\alpha t)+v\cos(\Delta\alpha t)+\Delta y \cdot t+R_y\\ \end{align} y así \begin{align} x'(t)&=-u\Delta\alpha\sin(\Delta\alpha t)+v\Delta\alpha\cos(\Delta\alpha t)+\Delta x \\ y'(t)&=-u\Delta\alpha\cos(\Delta\alpha t)-v\Delta\alpha\sin(\Delta\alpha t)+\Delta y .\\ \end{align} Vamos a poner más \begin{align} a&=&u\Delta\alpha&=&(C_x-R_x)\Delta\alpha\\ b&=&v\Delta\alpha&=&(C_y-R_y)\Delta\alpha \end{align} así que \begin{align} x'(t)&=-a\sin(\Delta\alpha t)+b\cos(\Delta\alpha t)+\Delta x \\ y'(t)&=-a\cos(\Delta\alpha t)-b\sin(\Delta\alpha t)+\Delta y .\\ \end{align} Ahora, utilizando el álgebra básica llegamos a \begin{align} x'(t)^2+y'(t)^2 &= a^2+b^2+\Delta x ^2+\Delta y ^2\\ &\ \ +(-2a\Delta x -2b\Delta y )\sin(\Delta\alpha t)+(2b\Delta x -2a\Delta y )\cos(\Delta\alpha t). \end{align} De nuevo, para simplificar, vamos a \begin{align} p&=&a^2+b^2+\Delta x ^2+\Delta y ^2&=&((C_x-R_x)\Delta\alpha)^2+((C_y-R_y)\Delta\alpha)^2+\Delta x ^2+\Delta y ^2\\ q&=&(-2a\Delta x -2b\Delta y )&=&(-2((C_x-R_x)\Delta\alpha)\Delta x -2((C_y-R_y)\Delta\alpha)\Delta y )\\ r&=&(2b\Delta x -2a\Delta y )&=&(2((C_y-R_y)\Delta\alpha)\Delta x -2((C_x-R_x)\Delta\alpha)\Delta y ) \end{align} así que, finalmente, la longitud de la ruta es \begin{align} l=\int_0^1\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\, dt &= \int_0^1\sqrt{p+q\sin(\Delta\alpha t)+r\cos(\Delta\alpha t)}\, dt \end{align} Ahora esta integral no parecen conducir a nada bueno (o yo soy incapaz de encontrar), pero en tu caso, puede ser más práctico para un aproximado utilizando los métodos de integración (véase, por ejemplo, https://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_integration). Así, por ejemplo, usando la regla trapezoidal podríamos aproximado \begin{align} l\approx \frac{1}{n}\left(\frac{f(0)}{2}+\sum_{k=1}^{n-1}f\left(\frac{k}{n}\right)+\frac{f(1)}{2}\right) \end{align} donde $f(t)=\sqrt{p+q\sin(\Delta\alpha t)+r\cos(\Delta\alpha t)}$, $p,q,r$ son como se define anteriormente, y $n$ es el número de intervalos en la aproximación (mayor $n$ da más exacta aproximación).

Usted puede hacer un poco de cordura, se comprueba que esto funciona. Elegir, por ejemplo,$C_0=R$, entonces la duración prevista es de $\sqrt{\Delta x ^2+\Delta y ^2}$ desde ese punto sólo se mueve a lo largo del segmento de línea. Si el enchufe esta $C_0$ a la ecuación anterior, usted encontrará que los $q=r=0$ $p=\Delta x ^2+\Delta y ^2$ y la integral anterior se evalúa a $\sqrt{\Delta x ^2+\Delta y ^2}$ como se esperaba (de hecho incluso la aproximación mencionado anteriormente da resultado exacto en este caso para cualquier $n$). Se puede comprobar que el mismo es cierto también para $\Delta\alpha = 0$.

Sin embargo, vamos a aplicarlo a un ejemplo vinculado en el geogebra anterior, digamos que de la esquina superior izquierda:

Tenemos \begin{align} R&=(15.3, 15.7)\\ C_0&=(11.2, 28.1)\\ \Delta\alpha&=\frac{23}{45}\pi\\ V&=(25,-3) \end{align} y \begin{align} p&=1072.78\\ q&=448.63\\ r&=953.04 \end{align} Y por eso, deseamos evaluar $\int_0^1\sqrt{1072.78+448.63\sin(\frac{23}{45}\pi t)+953.04\cos(\frac{23}{45}\pi t)}\, dt$ que por el método anterior nos da \begin{array}{c|c} n &l\approx \\\hline 1 &41.791054 \\ 10 &44.140258 \\ 100 &44.163487 \\ 1000 &44.163719 \\ \end{array}