Encontrar reales todos tal que dos extensiones de terreno son iguales.

Question

Así queremos encontrar una $u$ tal que $\mathbb{Q}(u)=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt[3]{5})$. He obtenido que si $u$ es de la siguiente forma: $$u=\sqrt[6]{2^a5^b}$$Where $un\equiv 1\pmod{2}$, and $\equiv 0\pmod{3}$, and $b\equiv 0\pmod{2}$ and $ b\equiv 1\pmod{3}$. This works since $$u^3=\sqrt{2^a5^b}=2^{\frac{a-1}{2}}5^{\frac{b}{2}}\sqrt{2}$$and also, $$u^2=\sqrt[3]{2^a5^b}=2^{\frac{a}{3}}5^{\frac{b-1}{3}}\sqrt[3]{5}$$Thus we have that $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt[3]{5})\subseteq \mathbb{Q}(u)$. Note that $\sqrt{2}$ has degree of $2$ (i.e., $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]=2$) and alsothat $\sqrt[3]{5}$ has degree $3$. As $\gcd(2,3)=1$, we have that $[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt[3]{5}),\mathbb{Q}]=6$. Note that this is also the degree of the extension of $u$, since one could check that the set $\{1,u,...,u^5\}$ is $\mathbb{Q}$-independent. Ergo, we must have equality. That is, $\mathbb{Q}(u)=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt[3]{5})$.

Mi pregunta es: ¿Cómo puedo encontrar todos $w$ tal que $\mathbb{Q}(w)=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt[3]{5})$? Esta es la tarea así que prefiero sugerencias más bien sugerencias de un spoiler respuesta. Creo que son todos de la forma descrita anteriormente, pero apriori no sé cómo probar que esto es cierto.

Mi idea era la siguiente, ya que $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt[3]{5})$ tiene el grado $6$, entonces si $w$ es tal que la deseada igualdad se satisface, entonces $w$ es una raíz de un polinomio irreducible de grado $6$, por otra parte, debemos ser capaces de encontrar los números racionales, de modo que $$\sqrt{2}=\sum_{i=0}^5q_iw^i$$ and $$\sqrt[3]{5}=\sum_{i=0}^5p_iw^i$$But from here I do not know how to show that the $u$s'descritos anteriormente son los únicos con esta propiedad (podría ser falso, apriori no lo sé).

Answer 1

El campo tiene grado 6 sobre los racionales. Cualquier elemento $w$ de grado 6 generará el campo.

Ahora, cada elemento del campo tiene grado 1, 2, 3, o 6. Los únicos elementos de grado 1 son los racionales. Los únicos elementos de grado 2 son aquellos de la forma $a+b\sqrt2$ (a pesar de que toma un poco de trabajo para comprobar esto). Los únicos elementos de grado 3 son aquellas de la forma $a+b\root3\of5+c\root3\of{25}$ (de nuevo, esto requiere un poco de cheques). De ello se desprende que los generadores están todos los elementos $a+b\sqrt2+c\root3\of5+d\sqrt2\root3\of5+e\root3\of{25}+f\sqrt2\root3\of{25}$ excepto aquellos con $b=c=d=e=f=0$, aquellos con $c=d=e=f=0$, y aquellos con $b=d=f=0$.