La condición de cuasi-compacidad en la topología de Zariski se parece poco a la condición de compacidad en la topología analítica clásica: por ejemplo, cualquier variedad sobre un campo es cuasi-compacta en la topología de Zariski, pero una variedad compleja es compacta en la topología analítica si es completa, o mejor, propia sobre $\operatorname{Spec} \mathbb{C}$ .
Creo que muchos geómetras algebraicos piensan para sí mismos que una variedad es "compacta" si es propia sobre el espectro de un campo. He oído utilizar esta terminología y de vez en cuando aparece en escritos (algo informales).
Así que una respuesta breve quizás más precisa es que en la geometría algebraica la distinción entre Hausdorff cuasi-compacto y cuasi-compacto es muy importante, mientras que en otras ramas de la geometría los espacios no-Hausdorff aparecen más raramente.
De todos modos, muchos matemáticos han estado contentos con la distinción cuasi-compacto / compacto durante unos 50 años, así que no creo que este uso vaya a desaparecer pronto.
Para responder a la última pregunta: cuando se escribe para un público matemático general, es una buena idea dar un aviso discreto en cuanto a su postura sobre la convención cuasi-compacta / compacta. (Probablemente, lo mismo ocurre con otras convenciones no universales de las matemáticas.) Si yo hablara de grupos profinitos, diría algo así:
"Un grupo profinito es un grupo topológico que puede expresarse como límite inverso de grupos discretos finitos. Equivalentemente, un grupo topológico es profinito si es compacto (¡Hausdorff!) y totalmente desconectado".
Esto debería permitir a la gente saber de qué lado estoy, y así poder entenderme. Cuando escriba para los estudiantes, me esforzaré por ser más explícito, utilizando una construcción "Por compacto quiero decir..." como has indicado anteriormente.
