La botella de Klein en $\mathbb{R}^4$ no tiene un par de vector normal campos

Question

Para un orientable 2-colector en $\mathbb{R}^4$, es algo obvio que si el colector tiene un vector normal de campo, a continuación, tiene un par de vectores normales de los campos.

Estoy tratando de entender por qué no es cierto para la botella de Klein incrustado en $\mathbb{R}^4$. Tiene un vector normal de campo, pero no puedo visualizar cómo la adición de un segundo vector normal va a causar un problema.

Answer 1

Por un par de vector normal campos, supongo que te refieres a dos linealmente independiente de vectores normales de los campos.

Deje $i : K \to \mathbb{R}^4$ ser una incrustación. En $K$ tenemos una secuencia exacta de los paquetes de vectores

$$0 \to TK \to i^*T\mathbb{R}^4 \to N \to 0$$

donde $N$ es normal en el paquete; tenga en cuenta que $\operatorname{rank}N = \dim\mathbb{R}^4 - \dim K = 4 - 2 = 2$. Si $K$ tenía dos linealmente independiente de vectores normales de los campos, $N$ sería trivial. Aplicación de la primera Stiefel-Whitney clase, vemos que $w_1(i^*T\mathbb{R}^4) = w_1(TK) + w_1(N)$, pero como $T\mathbb{R}^4$ $N$ son tanto trivial, $w_1(i^*T\mathbb{R}^4) = i^*w_1(T\mathbb{R}^4) = i^*0 = 0$$w_1(N) = 0$, lo $w_1(TK) = 0$. Pero esto es imposible ya que la primera Stiefel-Whitney clase de una tangente paquete se desvanece si y sólo si el colector es orientable, que $K$ no lo es.

En general, una cerrada colector $M$ admite una incrustación en $\mathbb{R}^n$ con trivial paquete normal si y sólo si el colector es estable parallelisable, es decir, $TM\oplus\varepsilon^k$ es trivial para algunos $k$. Por lo tanto, si una incrustación existe, todos los Stiefel-Whitney clases de $M$ debe desaparecer; en particular, vemos que $M$ debe ser orientable.

Answer 2

Se acercó con un poco más simple solución. Deje $e_1(x)$ ser un vector tangente campo en la botella Klein $K$. Supongamos que $n_1(x)$ $n_2(x)$ - par de linealmente indenpendent normal de campos vectoriales. Podemos optar $e_2(x)$$TK_x$, de modo que los cuatro vectores $(e_1(x), e_2(x), n_1(x), n_2(x))$ formar una orientación positiva con base en $\mathbb{R}^4$. Esto nos daría la orientación de la botella de Klein.