Radio de convergencia de la serie $ \displaystyle\sum\limits_ {n=0}^ \infty \frac {n!\,z^{2n}}{(1+n^2)^n}$

Question

Estoy haciendo el siguiente problema y me gustaría saber si mi respuesta es correcta o no:

Encuentra el radio de convergencia para la serie compleja $ \displaystyle\sum\limits_ {n=1}^n \frac {z^{2n}n!}{(1+n^2)^n}$ . Me pareció que era $R<1$ . Utilicé la relación $n!=cn^ne^{-n}$ y finalmente consiguió $| \frac {z^2}{e(1+n^2)}|$ <1 y eventualmente $|z|<1$ . Entonces, ¿mi trabajo es correcto? ¡Cualquier aporte es bien apreciado!

Answer 1

Primero debemos notar eso: El radio de convergencia de $$ \sum_ {n=0}^ \infty a_nz^{2n} $$ es $r$ si y sólo si el radio de convergencia de $$ \sum_ {n=0}^ \infty a_nz^{n} $$ es igual a $r^2$ .

En nuestras series de energía, con $z^2$ reemplazar por $z$ usando la prueba de proporción que tenemos $$ \frac {a_{n+1}}{a_n}= \frac { \frac {(n+1)!}{(1+(n+1)^2)^{n+1}}}{ \frac {n!}{(1+n^2)^{n}}}= \frac { \frac {n+1}{1+(n+1)^2}}{ \left ( \frac {1+(n+1)^2}{1+n^2} \right )^n}= \frac { \frac {n+1}{1+(n+1)^2}}{ \left (1+ \frac {2n+1}{1+n^2} \right )^n} \longrightarrow \frac {0}{ \mathrm {e}^2}=0. $$ Por lo tanto, el radio de convergencia de $ \displaystyle\sum\limits_ {n=1}^n \frac {z^{n}n!}{(1+n^2)^n}$ es $r= \infty $ y así en el radio de convergencia de $ \displaystyle\sum\limits_ {n=1}^n \frac {z^{2n}n!}{(1+n^2)^n}$ .

Answer 2

Pista: Use el _prueba de la raíz_ y tenga en cuenta que $n!<n^n$

Answer 3

Pista: Es más fácil usar la prueba de la ración.