Volar un punto en el espacio proyectivo n $\mathbb{P}^n$

Question

He entendido claramente la explosión de $\mathbb{A}^n$ en el origen y es el lugar cero de los polinomios $x_{i}y_{j} = x_{j}y_{i}$ en el espacio del producto mixto $\mathbb{A}^n \times \mathbb{P}^{n-1}$ donde $(x_1,...x_n) \in \mathbb{A}^n$ y $(y_0,...,y_{n-1})\in \mathbb{P}^{n-1}$ . Por favor, ayúdenme a entender la explosión $\mathbb{P}^n$ en un punto, digamos $p$ .

Déjame intentarlo: El soplo de un punto debe ser un subconjunto cerrado del espacio del producto $\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^{n-1}$ . Si ampliamos $\mathbb{P}^n$ en dos puntos, entonces la ampliación será un subconjunto cerrado del espacio del producto $\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^{n-1} \times \mathbb{P}^{n-1}$ . No sé si es correcto o no. ¿Es difícil construir la ampliación de $\mathbb{P}^n$ en un punto explícito cuando $n > 2$ ?

Answer 1

Primer punto de vista
Considera que $\mathbb{A}^n\subset \mathbb P^n$ identificando $(x_1,\ldots ,x_n)$ con $[1:x_1.\ldots:x_n]$ .
A continuación, pegue la ampliación $B_0 \subset \mathbb{A}^n\times \mathbb P^{n-1}$ de $\mathbb{A}^n$ en $(0,\ldots,0)=[1:0:\ldots:0]$ y la variedad $\mathbb P^n\setminus [1:0:\ldots:0] $ identificando $((x_1,\ldots ,x_n),[x_1:\ldots:x_n])\in B_0$ con $[1:x_1:\ldots:x_n]$ siempre que $(x_1,\ldots ,x_n)\neq (0,\ldots ,0)$ .
La variedad $B$ obtenida por este proceso de encolado es la ampliación requerida de $\mathbb P^n$ en $[1:0:\ldots:0]$

Segundo punto de vista
Describe directamente la explosión de $\mathbb P^n$ en $[1:0:\ldots:0]$ como la subvariedad $B\subset \mathbb P^n \times\mathbb P^{n-1}$ definida por la exigencia de un par $([x_0:x_1:\ldots:x_n],[y_1:\ldots:y_n])\in \mathbb P^n \times\mathbb P^{n-1}$ que lo siguiente bihomogéneo condiciones del bidegree $(1,1)$ aguantar: $$ x_iy_j-x_jy_i =0 \quad i,j=1,\ldots, n $$

(Asegúrese de observar que estas condiciones no implican $x_0$ )