Último Teorema de Fermat en varias variables

Question

Me preguntaba si había algo que podría decir acerca de cuándo, dado $m$,

$\exists n (\forall x_1,\dots,x_m \in \mathbb{N} ( x_1^n + x_2^n + \dots + x_{m-1}^n \neq x_m^n))$

Último Teorema de Fermat implica esto para $m=3$.

La pregunta sería si hay un algoritmo para encontrar una $n$ para un determinado $m$. La pregunta surgió de una pregunta en una clase de informática. En verdad, estoy en busca de un integrante del polinomio que, teniendo en cuenta algunas $m$, no es exactamente 1 solución integral a$p(x_1, \dots, x_m)$$x_i < m$.

Answer 1

Si usted permite que sus variables $x_i$ a ser enteros no negativos, entonces esto está relacionado con el problema de Waring. Deje $g(n)$ es el mínimo número de $s$ de tal forma que cada número natural se puede representar como una suma de más de $s$ números naturales a la $n$th poder. Si $m-1\geq g(n)$, entonces dado cualquier $x_m\in \mathbb{N}$, el número de $x_m^n$ puede ser representado como la suma de $x_1^n+x_2^n+\cdots +x_{m-1}^n$, para algunos enteros no negativos $x_i\geq 0$.

Por lo tanto, si queremos arreglar $m$, y hay un $n$ tal que $x_1^n+\cdots+x_{m-1}^n=x_m^n$ no tiene no negativo soluciones, entonces obtendremos un límite de $m-1<g(n)$, lo que proporciona un límite inferior para $n$. La función de $g(n)$, se conjetura que será dada por el $$g(n) = 2^n + [(3/2)^n] − 2$$ donde $[\cdot]$ es el mayor entero de la función. El primer par de valores (de la conjetural fórmula para $g(n)$) son: $$g(1) = 1,\ g(2)= 4,\ g(3)= 9,\ g(4)= 19,\ g(5)= 37,\ g(6)= 73,\ g(7)= 143,\ g(8)= 279,\ldots$$ Así, por ejemplo, si $m=3$, esto querría decir que el $n\geq 2$ (y el último teorema de Fermat dice que $n=3$ funciona). Si $m=4$,$n\geq 2$. Si $m=5,6,7,8,$ o $9$,$n\geq 3$, etc.