Lema de Doob-Dynkin: Sea $X$ , $Y$ $:\Omega \rightarrow R^n$ sean elementos aleatorios y $\sigma(X)$ sea el $\sigma$ álgebra generada por $X$ . Entonces $Y$ es $\sigma(X)$ -medible si y sólo si $Y=g(X)$ para alguna función medible de Borel $g:R^n\rightarrow R^n$ .
Ahora quiero utilizar este lema para simplificar $\sum_{n=0}^{\infty}E[f(X_{n+1}) \vert \sigma(X_n)] 1_{\{N=n\}}$ donde $N<\infty$ es cualquier tiempo de parada discreto y $f$ es una función medible acotada. Sé que por definición, la expectativa condicional $E[f(X_{n+1}) \vert \sigma(X_n)]$ es $\sigma(X_n)$ -medible. Entonces, aplicando el lema de Doob-Dynkin, $E[f(X_{n+1}) \vert \sigma(X_n)]= g(X_n)$ y luego, \begin {Ecuación} \sum_ {n=0}^{ \infty }E[f(X_{n+1}) \vert \sigma (X_n)] 1_{{N=n\}} = \sum_ {n=0}^{ \infty } g(X_n) 1_{{N=n\}} \hspace {5mm}(1) \end {Ecuación}
Pero no estoy seguro del siguiente paso. Creo que es un error sustituir $n$ en $g(X_n)$ por $N$ porque en ese caso, significa que $E[f(X_{N+1}) \vert \sigma(X_N)]= g(X_N)$ lo que no me parece correcto porque sin fijar el valor de $N$ La definición de $\sigma(X_N)$ no está claro para mí. Si hacemos esta sustitución aparentemente errónea, entonces
$\sum_{n=0}^{\infty}E[f(X_{n+1}) \vert \sigma(X_n)] 1_{\{N=n\}} = \sum_{n=0}^{\infty} g(X_n) 1_{\{N=n\}} = g(X_N) \sum_{n=0}^{\infty} 1_{\{N=n\}} = g(X_N). $
Pero como he mencionado anteriormente, creo que esta sustitución es errónea y (1) al final también debería depender de $N$ . ¿Estoy en lo cierto? ¿Alguna idea para simplificar (1)?
