Hay otra manera de calcular las $ \lim_{x \to 0^+} (\ln x)/{x^{1/9} } $?

Question

Estoy tratando de calcular el límite

$$ \lim_{x \to 0^+} \frac{ \ln x}{x^{1/9} } $$

Estoy intentando l'hospitals no funciona. ¿Truco o qué tenemos aquí?

Answer 1

Uno sólo puede escribir $$ \lim_{x \to 0^+} \frac{ \ln x}{x^{1/9} } = \lim_{x \to 0^+}\left( \frac1{x^{1/9} } \times \ln x \right)=\frac1{0^+} \times (-\infty)=+\infty \times (-\infty)=-\infty. $$

Answer 2

No es una forma indeterminada: es: '$\dfrac{-\infty}{0^+}=-\infty\times(+\infty)=-\infty$'.

Answer 3

Sin apelar a L'Hospital de la Regla, se nota que $\log(x)\le x-1$$x>0$.

Entonces, tenemos

$$\begin{align} \frac{\log(x)}{x^{1/9}}&\le \frac{x-1}{x^{1/9}}\\\\ &=x^{8/9}-x^{-1/9}\\\\ &\to -\infty \,\,\text{as}\,\,x\to 0^+ \end{align}$$

Y hemos terminado!

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Es interesante notar que L'Hospital de la Regla en efecto se aplican para el límite de la reciprocidad, $\frac{x^{1/9}}{\log(x)}$. Es decir,

$$\begin{align} \lim_{x\to 0^+} \frac{x^{1/9}}{\log(x)}&=\lim_{x\to 0^+}\frac{\frac19 x^{−8/9}}{1/x}\\\\ &=\lim_{x\to 0^+} \frac19 x^{1/9}\\\\ &=0 \end{align}$$

Ahora, ya que para $0<x<1$, $\log(x)<0$, vemos enseguida que

$$\lim_{x\to 0^+}\frac{\log(x)}{x^{1/9}}=-\infty$$

Answer 4

El uso de la sustitución de $x=y^9$ donde $y>0$.