Un espacio de Hausdorff compacto que no es metrizable

Question

¿Existe un ejemplo de un espacio de Hausdorff compacto que no sea metrizable?

Estaba pensando que tal vez el espacio de funciones continuas $f: X \rightarrow Y$ entre espacios topológicos $X, Y$, podría funcionar, pero estoy seguro de que me estoy perdiendo algunas condiciones.

Answer 1

Me gusta el espacio de la doble flecha, como ejemplo clásico:

Sea $X = [0,1] \times \{0, 1\}$, donde $X$ tiene el orden lexicográfico $(x,i) < (y,j)$ si $x < y$ o ($x = y$ y $i=0, j=1$). Entonces $X$ en la topología de orden es separable ($\mathbb{Q} \times \{0, 1\}$ es numerable y denso), compacto, normal hereditariamente y perfectamente normal y de primer recuento, pero su cuadrado no es hereditariamente normal (contiene el cuadrado de la línea de Sorgenfrey, que se puede ver como el subespacio $(0,1) \times \{1\}$). Así que incluso espacios compactos muy agradables no necesitan ser metrizables. Se pueden encontrar demostraciones aquí, por ejemplo.

El cuadrado unitario ordenado lexicográficamente, también discutido en el enlace anterior, es otro ejemplo, que es menos agradable (no es separable), pero para el cual es más fácil refutar la metrizabilidad, ya que es compacto y no separable.

Otro ejemplo clásico del mismo artículo de Aleksandrov, si mal no recuerdo, es el doble de $[0,1]$, que también es $X = [0,1] \times \{0,1\}$, y donde un entorno básico de $(x,1)$ es solo $\{(x,1)\}$ (estos son puntos aislados), pero un entorno básico de $(x,0)$ es de la forma $O = (I \times \{0,1\}) \setminus \{(x,1)\}$ donde $I$ es cualquier conjunto abierto estándar de $[0,1]$ que contiene a $x$. Esto es compacto ya que $[0,1]$ lo es, pero tiene un subespacio discreto no numerable $[0,1] \times \{1\}$, lo que lo hace no separable y no de segundo recuento, por lo que no es metrizable.

Answer 2

Un espacio métrico compacto es separable. Un espacio métrico es primero numerable. Ejemplos bastante simples de espacios de Hausdorff compactos que no lo son incluyen la compactificación de un punto de un espacio discreto no numerable y el espacio ordinal $[0,\omega_1]$.

Answer 3

El espacio ordenado linealmente $\omega_1+1$ es un ejemplo fácil. Otro ejemplo es $\beta\omega\setminus\omega$, la compactificación Čech-Stone de $\omega$. $\{0,1\}^\kappa$ para $\kappa>2^\omega$ también funcionará, ya que no es separable.

Answer 4

Te faltan hipótesis sobre $X$ y $Y$. Y no veo razón para restringirse a funciones continuas. Simplemente toma un conjunto no numerable $X$ y algunos elementos más de un elemento con la topología de convergencia punto a punto. Entonces básicamente obtendrás el siguiente caso.

El espacio $\{0,1\}^{\mathbb{R}}$ con la topología del producto es compacto pero no es metrizable. Si esta topología fuera metrizable, entonces habría una familia de vecindarios $V_1 \supset V_2 \supset \dotsc$ para $(0,0,0,\dotsc)$ tal que $$\{(0,0,0,\dotsc)\} = \bigcap V_n.$$ ¡Pero esto no puede suceder!

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Razón "esto no puede suceder":

La notación $(0,0,0,\dotsc)$ es un abuso. El conjunto de índices $\mathbb{R}$ no es numerable. Dado un subconjunto $\Lambda \subset \mathbb{R}$, denotemos por $$ \pi_\Lambda: \{0,1\}^{\mathbb{R}} \rightarrow \{0,1\}^\Lambda $$ la proyección natural.

Para cada vecindario $V_j$ de $\vec{0} \in \{0,1\}^{\mathbb{R}}$, hay un subconjunto finito $\Lambda_j \subset \mathbb{R}$ tal que $\pi_{\Lambda_j}^{-1}(\vec{0}) \subset V_j$. Sea $$ \Lambda = \bigcup_j \Lambda_j. $$ Entonces, la intersección de todos esos contables $V_j$ contendría a $\pi_\Lambda^{-1}(\vec{0})$. Esos son vectores que son $0$ en coordenadas en $\Lambda$ y $0$ o $1$ en cualquier otra. Por lo tanto, dado que $\mathbb{R}$ no es numerable y $\Lambda$ sí lo es, $$ \bigcap_j V_j \neq \{\vec{0}\}. $$

Answer 5

El producto incontable de espacios métricos no triviales no es metrizables. Tome, por ejemplo, incontables copias de [0,1] con la métrica de subespacio. El producto es compacto, por Tychonoff, y es Hausdorff, pero no es metrizable.

Edit Como señaló t.b, mi respuesta no agrega mucho que no se haya dicho anteriormente, así que espero que este comentario añada algo: observe que la métrica $\Sigma^{\infty}_{i=1} \frac{d_i(x_i,y_i)}{2^i}$ (que es una de las métricas que) genera la métrica del producto para un producto contablemente-infinito no funcionará para un producto incontablemente-infinito ya que, entre otras cosas, la suma divergirá para pares de puntos que tienen más de incontables entradas diferentes entre sí. Por supuesto, esto no es una desaprobación.