Probar que si dos segmentos de línea son iguales iff otro par de ángulos son iguales.

Question

Pregunta:

Supongamos que $P$ $Q$ son los puntos en los lados $AB$$AC$, respectivamente, de $\triangle ABC.$ de Las perpendiculares a los lados $AB$$AC$$P$$Q$, respectivamente, se reúnen en $D,$ un punto interior de a $\triangle ABC$. Si $M$ es el punto medio de la $BC,$ demostrar que $PM=QM$ si y sólo si $\angle BDP=\angle CDQ$.

Mi Problema: Esta pregunta es para ser probado por tomar una de las dos cosas como correctas y otras como falsas y contradecir las dos afirmaciones. Hay ciertas cosas que creo que son los correctos para el problema, pero no puedo probarlo.
$1.$ $PQCB$ es cuadrilátero cíclico.
$2.$ $M$ es centro de la circunferencia$(PQCB)$.
$3.$ $P,D,C$ y $Q,D,B$ son colineales.
Me encontré con que $\triangle PDB \sim \triangle QDC$ da $QD*DB=PD*DC$. Esta es mi única forma de progreso.

Gracias por proporcionar una solución.

Answer 1

Sugerencia:

Deje $E$ $F$ de los puntos medios de $BD$ $CD$ respectivamente. A continuación, $MFDE$ es de paralelogramo y $PE= BD/2= MF$$F = CD/2 = EM$. Ahora $$PM = PQ\iff \angle PEM = \angle MFQ \iff \angle PED = \angle DFQ \iff ...$$

Answer 2

Aquí es una prueba de la proposición con vectores:

1. $PM=QM$ se traduce a $\renewcommand{\vec}{\overrightarrow}|\vec v-\vec m|=|\vec m+\vec w|$.
2. El vector que apunta desde $P$ $D$debe ser en la dirección de $\vec v$ girado $90^\circ$ de las agujas del reloj, por lo que puede ser escrito como $-\widehat{\vec v}\cdot p$ para algún número real $p$.
3. Del mismo modo, el vector de $Q$ $D$puede ser escrito como $\widehat{\vec w}\cdot q$ algunos $q$.
4. Ahora $\Delta BPD$ $\Delta CQD$ son triángulos semejantes si y sólo si $p=q$. Y esto a su vez es equivalente a $\angle BDP=\angle CDQ$.

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La combinación de 2-4 desde arriba podemos escribir: $$ \vec{BD}=\vec v-\widehat{\vec v}\cdot p=2\vec m+\vec w+\widehat{\vec w}\cdot p $$ que puede reordenarse $$ \vec v-2\vec-m\vec w=(\widehat{\vec v}+\widehat{\vec w})\cdot p $$ mostrando que $\vec v-2\vec m-\vec w$ es paralelo a $\widehat{\vec v}+\widehat{\vec w}$. Por lo tanto es perpendicular a $\vec v+\vec w$ que es equivalente a decir $$ (\vec v-2\vec-m\vec w)\cdot(\vec v+\vec w)=0\tag1 $$

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Por otro lado, el primer elemento de lectura $PM=QM$, lo que implicó $$ |\vec v-\vec m|=|\vec m+\vec w| $$ que después elevarlo al cuadrado ambos lados y aplicar el producto escalar de reglas nos da $$ \vec v\cdot\vec v+\vec m\cdot\vec m-2\vec v\cdot\vec m=\vec m\cdot\vec m+\vec w\cdot\vec w+2\vec m\cdot\vec w\tag2 $$

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Finalmente, uno puede comprobar que $(2)$ es equivalente a $(1)$, y que se hacen:

$\angle BDP=\angle CDQ$ es equivalente a $(1)$ que es equivalente a $(2)$ que es equivalente a $PM=QM$. Hecho!