¿Por qué podemos utilizar el siguiente método de integración?

Question

Para integrar la siguiente función, nuestro profesor nos enseñó el siguiente método:

$\dfrac{x^4+1}{x^3+x^2} = \dfrac{x^4+1}{x^2(x+1)}=\dfrac{A}{x^2}+\dfrac{B}{x}+\dfrac{C}{x+1}$

No entiendo por qué podemos hacer eso, en realidad, $\dfrac{x^4+1}{x^3+x^2} = \dfrac{x^4+1}{xx(x+1)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x}+\dfrac{C}{x+1}$

Aunque entiendo por qué no podemos encontrar $A, B$ y $C$ de esa manera (de hecho para encontrar A evaluamos $\dfrac{x^4+1}{x^2(x+1)}$ en x=0)

Answer 1

Puedes ver que tu descomposición en fracciones parciales no puede funcionar simplemente observando que el numerador de la fracción: $A(x+1)+Bx(x+1)+Cx^2$ no puede ser un polinomio de grado $4$ . En otras palabras, si los denominadores son los factores de un polinomio de grado $n$ y los numeradores de las fracciones parciales son números, que el numerador de su suma no puede ser de grado $\ge n$ .

Como se señala en los comentarios, el primer paso es utilizar la división larga para encontrar: $$ \frac{x^4+1}{x^3+x^2}=x-1+\frac{x^2+1}{x^3+x^2} $$ para lo que podemos usar fracciones parciales: $$ \frac{x^2+1}{x^2(x+1)}=\frac{A}{x^2}+\frac{B}{x}+\frac{C}{x+1} $$

y encontrar $A=1,B=-1,C=2$