¿Cálculo de la integral utilizando dos métodos diferentes?

Question

Encontrar $$\int \dfrac{x^3}{(x^2+1)^3}dx$$

de dos maneras diferentes, la primera mediante la sustitución de $u=x^2+1$ y, a continuación, mediante la sustitución de $x=\tan \theta$.

Me las arreglé para hacer estas dos, pero la respuesta es de alguna manera diferente es decir, las dos respuestas no están de acuerdo. ¿Cómo debe ser la respuesta real?

Answer 1

Vamos $x^2+1=t\implies 2xdx=dt$ $$\int \frac{x^3}{(x^2+1)^3}dx=\frac{1}{2}\int \frac{(t-1)dt}{t^3}$$ $$=\frac{1}{2}\int \frac{(t-1)dt}{t^3}dt$$ $$=\frac{1}{2}\int (t^{-2}-t^{-3}) dt$$ $$=\frac{1}{2}\left(-1\frac{1}{t}+\frac{1}{2t^2}\right) $$ $$=\frac{1}{4t^2}-\frac{1}{2t}+C_1$$ $$=\frac{1}{4(x^2+1)^2}-\frac{1}{2(x^2+1)}+C_1$$

Ahora, vamos a $x=\tan \theta\implies dx=\sec^2\theta d\theta$ $$\int \frac{x^3}{(x^2+1)^3}dx$$ $$=\int \frac{\tan^3\theta\sec^2\theta d\theta}{(\tan^2\theta+1)^3}$$$$=\int \frac{\bronceado^3\theta\s^2\theta d\theta}{\s^6\theta}$$ $$=\int \frac{\sin^3\theta d\theta}{\cos^3\theta\sec^4\theta}$$ $$=\int \sin^3\theta \cos\theta d\theta$$ Let $\sin \theta=u\implica \cos\theta d\theta=du$ $$=\int u^3du=\frac{u^4}{4}+C_2$$ Now, setting $u=\sin \theta=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$$$=\frac{1}{4}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)^4+C_2$$ $$=\frac{x^4}{4(x^2+1)^2}+C_2$$

Edit: Azul está a la derecha. Tomemos diferencia tanto de las respuestas anteriores $$\frac{1}{4(x^2+1)^2}-\frac{1}{2(x^2+1)}+C_1-\left(\frac{x^4}{4(x^2+1)^2}+C_2\right)$$ $$=\frac{1}{4(x^2+1)^2}-\frac{1}{2(x^2+1)}-\frac{x^4}{4(x^2+1)^2}+C_1-C_2$$ $$=\frac{1-2(x^2+1)-x^4}{4(x^2+1)^2}+C_1-C_2$$ $$=\frac{-(x^4+2x^2+1)}{4(x^2+1)^2}+C_1-C_2=\frac{-(x^2+1)^2}{4(x^2+1)^2}+C_1-C_2$$$$=-\frac{1}{4}+C_1-C_2=\text{constante}$$ Por lo tanto, los métodos son correctos y respuestas son coherentes entre sí.