Que $G,H,K$ ser grupos abelianos finitamente generados. Si es isomorfo a $G \times K$ $H \times K$, es isomorfo a $G$ $H$.
Lo que he pensado es que puede usarse el Teorema fundamental de grupos abelianos, pero no sé cómo hacer. Por favor, ayúdame.
Respuestas
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¿Qué hace el Teorema Fundamental de finitely grupos generados tienen que decir acerca de los grupos $G, H, K$? Y $\;G\times K\;$ $\;H \times K\;?\;$
- $G,\;H,\;K.\; G\times K,\;\text{and}\;\;H\times K\;$ son cada isomorfo a, y se puede expresar de forma única (hasta el orden de los factores) como el producto directo, cuyos factores son grupos cíclicos de orden de la potencia de un primer y/o $\mathbb Z$.
¿Qué implica esto si $G\times K \cong H\times K$, cada uno de los cuales es el producto directo de abelian grupos que son el producto directo de grupos cíclicos?
A continuación, $K$ ser únicamente descomponer en el producto directo de grupos cíclicos. El mismo para$G\times K$$H \times K$, cada uno de los cuales debe incluir todos los factores en la en la descomposición de la $K$. A continuación, después de tomar en cuenta que hay factores comunes, ya que $G\times K \cong H \times K$, lo que debe ser cierto acerca de la $G$$H$?
Johannes
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O si usted accede a Un curso en teoría de grupos por J.J.Rose ve esto:
Corolario 8.42: Let $G$ ser no trivial finito generado Grupo abeliano y deja $$G=H_1\times...\times H_m=K_1\times ....\times K_n$$ where $m,n$ are positive integers and $H_i,K_j$ are non-trivial indecomposable subgroups of $G$ Then $m=n$ and, by relabeling the suffices if necessary, $$H_i=K_j$$ for each $i=1,...n$
