La linealidad de la expectativa es la simple forma de abordar este problema. Es una técnica muy poderosa que nos permite encontrar la expectativa de muchas variables aleatorias $X$, aun cuando es muy difícil encontrar la distribución de $X$.
Pero si usted realmente desea evitar el uso de la linealidad de la expectativa, se puede hacer en este caso. El cálculo se tomará un tiempo: su longitud puede ser considerado como una prueba del hecho de que debemos utilizar la linealidad de la expectativa! Por la fórmula general para la expectativa en el caso discreto, cuando la distribución de la $X$ es conocido, la expectativa de que el número de bolas rojas $X$ es
$$\sum_{k=0}^r kP(X=k).$$
La probabilidad de que $X=k$ es, como usted sabe,
$$\frac{\binom{r}{k}\binom{w}{n-k}}{\binom{r+w}{n}},$$
y por lo tanto
$$E(X)=\sum_{k=1}^r k \frac{\binom{r}{k}\binom{w}{n-k}}{\binom{r+w}{n}}. \tag {$\ast$} $$
Estamos suma de $k=1$ porque $k=0$ plazo no hace ninguna contribución a la expectativa, y podrían causar algunos dolores de cabeza más adelante.
Utilizamos el siguiente resultado:
Lema: El coeficiente binomial $\binom{q}{p}$ es igual a $\frac{q}{p}\binom{q-1}{p-1}$.
El lema es fácil de demostrar, ya sea de forma combinatoria o por manipulación. Para un manipulational prueba, tenga en cuenta que
$\tfrac{q}{p}\tbinom{q-1}{p-1}=\tfrac{q}{p}\tfrac{(q-1)!}{(p-1)!(q-p)!}=\tfrac{q!}{p!(q-p)!}$.
Usando el lema, podemos ver que
$$\binom{r+w}{n}=\frac{r+w}{n}\binom{r+w-1}{n-1}.\tag {$\ast\ast$}$$
También necesitamos un poco de información acerca de $k\binom{r}{k}$. Por el lema, o de lo contrario,
$$k\binom{r}{k}=r\binom{r-1}{k-1}.\tag {$\ast\ast\ast$}$$
Sustituyendo los valores obtenidos en $(\ast\ast)$ $(\ast\ast\ast)$ para los términos en la fórmula $(\ast)$ de la expectativa de $X$, obtenemos
$$E(X)=\frac{rn}{r+w}\sum_{k=1}^r \frac{\binom{r-1}{k-1}\binom{w}{n-k}}{\binom{r+w-1}{n-1}}.$$
Hacer el cambio de variable $j=k-1$. Entonces la fórmula anterior para $E(X)$ se convierte en
$$E(X)=\frac{rn}{r+w}\sum_{j=0}^{r-1} \frac{\binom{r-1}{j}\binom{w}{n-j-1}}{\binom{r+w-1}{n-1}}.$$
Tenga en cuenta que $\frac{\binom{r-1}{j}\binom{w}{n-j-1}}{\binom{r+w-1}{n-1}}$ es la probabilidad de que al dibujar $n-1$ bolas de una urna que contiene $r-1$ rojo y $w$ blancos, usted recibirá exactamente $j$ bolas rojas. Cuando le suma esta de$j=0$$r-1$, somos la suma de todas las probabilidades, por lo que el aspecto complicado suma es igual a $1$. Llegamos a la conclusión de que
$$E(X)=\frac{rn}{r+w}\sum_{j=0}^{r-1} \frac{\binom{r-1}{j}\binom{w}{n-j-1}}{\binom{r+w-1}{n-1}}=\frac{rn}{r+w}.$$
Comentario: a Pesar de la linealidad enfoque es el más suave, hay otras propiedades de la expectativa de que uno puede utilizar para una prueba. Por ejemplo, supongamos $E(n,x,y)$ ser el número esperado de las bolas de color rojo cuando vivimos de $x$ rojo y $y$ blanco. En la primera selección, tenemos una red con una probabilidad de $\frac{r}{r+w}$, y un whie con una probabilidad de $\frac{w}{w+r}$. Si tenemos una red en la primera foto, nuestro número esperado de rojos es $1$ más el número esperado de tintos de el resto de las selecciones. Si queremos obtener un blanco, entonces nuestro número esperado de rojos es simplemente el número esperado de tintos de el resto de las selecciones. Así obtenemos
$$E(n,r,w)=\frac{r}{r+w}(1+E(n-1,r-1,w))+\frac{w}{r+w}E(n-1,r,w-1).$$
Usando esta fórmula, y una simple inducción en $n$, se puede demostrar que
$E(n,x,y)=\frac{nx}{x+y}$.
