¿Por qué tienen composición y grupo diedro inverso de la operación?

Question

NOTA - no he recibido ninguna respuesta en el aquí y creo que es porque mi primer post no está claro, así que he hecho enteramente otro ejemplo:

$K={\{id,r^2,r^4,s,r^2s,r^4s}\}$ es un buen subgrupo del grupo diedro $D_6$. Como se muestra aquí por Gerry Myerson, $K$ es isomorfo a $S_3$. Etiquetar los vértices del hexágono de la 1 a la 6. Olvídate de 2, 4 y 6, y ver lo $K$, a 1, 3 y 5. Usted verá que los 6 elementos de $K$ son precisamente las 6 permutaciones de 1, 3, 5, por lo tanto, precisamente,$S_3$;. i.e: $$\begin{align*} \mathrm{id} &\longleftrightarrow \mathrm{id}\\ \tau_s=(35) &\longleftrightarrow s\\ (135) &\longleftrightarrow r^4\\ (13) &\longleftrightarrow r^4s\\ \tau_{r^2s}=(15) &\longleftrightarrow r^2s\\ \tau_{r^2}=(153) &\longleftrightarrow r^2 \end{align*},$$ $r$ significa una rotación en sentido horario y $s$ significa flip en línea horizontal. Con el fin de alcanzar el nuevo estado de la hexagonal,

primero hacemos $r^2$$s$. Pero en $S_3$ ocurre en forma invertida, es decir, primero $\tau_s$ (la permutación bijective a$s$), a continuación, $\tau_{r^2}$ (la permutación bijective a $r^2$) o matemáticamente

$(15)(\mathrm{id})=(153)(35)(\mathrm{id}) \Leftrightarrow \tau_{r^2s} (\mathrm{id}) = \tau_{r^2} \circ \tau_s (\mathrm{id})$.

Mi pregunta es que para llegar a la misma cifra por qué (tanto en matemática y intuitiva explicaciones) en $K$ es de derecha a izquierda (primera $r^2$$s$) pero en $S_3$ es de izquierda a derecha (primera $\tau_s$ (bijective de $s$), a continuación, $\tau_{r^2}$ ((bijective de $r^2$))?

EDITAR - Mis conocimientos de teoría de grupos es limitado a unos pocos primeros capítulos de la C. C. Pinter del Álgebra Abstracta, y el elogio fácil-a-entender las explicaciones. Mi pregunta es sobre la razón de la orden inverso de 'acciones', intuitivamente/geometría/matemática.

Gracias.

Answer 1

No hay absolutamente ninguna razón en absoluto. Es el autor de el libro de texto de manera que estas cosas pasan, y diferentes libros de texto se utilizan diferentes convenios tanto para el grupo simétrico y el diedro grupo.

Cuando se define un grupo de transformaciones u operaciones, usted tiene la opción de si $gh$ " $g$ primero, y, a continuación,$h$", o si se debe decir "do $h$ primero y, a continuación,$g$". Estas dos opciones se corresponden con dos operaciones binarias en el grupo, y usted tiene que escoger una de estas operaciones.

Ahora, usted podría pensar que es obvio que $gh$ " $g$ primero, y, a continuación,$h$". Sin embargo, esa no es la forma de composición de las funciones de las obras. Recordar que si $f$ $g$ son funciones, la composición, $f\circ g$ está definido por la fórmula $$ (f\circ g)(x) = f(g(x)). $$ Como se puede ver, en la composición de la $f\circ g$, la función de $g$ se aplica a $x$ primero, y, a continuación, $f$ se aplica al resultado.

Así que cuando usted está definiendo un grupo, usted tiene que decidir entre el uso de la "evidente" de la orden, y con el orden que está de acuerdo con la función de composición. No hay una buena elección, por lo que algunos libros de utilizar el "evidente" de la orden, algunos libros de utilizar el "retroceso" de la orden, y algunos libros (como el tuyo, al parecer) el uso de diferentes pedidos para los diferentes grupos.

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Por cierto, la razón por la que la función de la composición es "hacia atrás", es que todo el mundo escribe funciones a la izquierda de la entrada, que es un poco extraño cuando se piensa en ello. Todo sería mucho más simple si la gente escribía $(x)f$ en lugar de $f(x)$, para, a continuación, la función de la composición podría ser definido como $$ (x)(f\circ g) = ((x)f)g, $$ que quiere decir que la $f$ iría primero. Pero nadie hace esto, y todo el mundo está tan acostumbrado a las funciones de la izquierda que las ecuaciones de este tipo son en realidad un poco difícil de leer.

Answer 2

Supongo que usted está utilizando el etiquetado original aquí. Creo que hizo algunas error en los cálculos, o el uso inconsistente de los convenios. En la parte superior de tu post, que indican que $r^2 s$ corresponde a (15). Ahora (15) es lo que hay por hacer $s$ en primer lugar, a continuación,$r^2$. Pero luego, más tarde en su mensaje, usted parece pensar que $r^2 s$ " $r^2$ en primer lugar, a continuación,$s$".

Si el uso constante de un convenio, entonces todo funciona.

Answer 3

Yo defino $r$ a ser uno de rotación de las agujas del reloj, y s a la reflexión sobre el 'horizontal' de la línea (ver la figura).

Como un ejemplo, yo quiero a evaluar $rsr^2$. Sin pérdida de generalidad, puedo elegir de derecha a izquierda como el orden de la acción que es la primera $r$ $s$ $r^2$ actuando en id (primera configuración) en la figura. Gráficamente:

Así que el final de equivalencia es $(12)(36)(45)$.

Voy a hacer la misma dirección de la acción", pero ahora en la permutación, que es la primera $r$ $s$ $r^2$ actuando en id ($(1)$) en el número de arreglos o permutaciones. Matemáticamente:

$\tau_1=r\circ\text{id}=(123456)(1)=(123456)\rightarrow \tau_2=s\circ\tau_1=(26)(35)(123456)=(16)(25)(34)\rightarrow\tau_3=r^2\circ\tau_2=(135)(246)(16)(25)(34)=(12)(36)(45)$.

Conclusión: La contradicción vino de etiquetado de uno de los 'dentro y fuera' de los vértices no dos de ellos. Además, no es venerado orden de las acciones comparación de permutación y dihegral grupo.