Derivado de la ${x^{x^2}}$

Question

El estudio de pasado el examen de los problemas para mi examen en ~$4$ semanas, y me encontré con este derivado a una de las preguntas. No tengo idea de cómo resolverlo.

$$\frac{d}{dx} (x^{x^2})$$

Usando la regla de la cadena en la que dejando $x^2 = u$ me llevó a conseguir $2x^{x^2-2}$, que no está bien. La función actúa como $e^x$ así que estoy pensando en que tiene que convertir a este formulario.

Así que me llevó a ser: $$\frac{d}{dx} (e^{{x^2}log(x)})$$ No muy seguro de a dónde ir desde aquí, o si voy en la dirección correcta.

Answer 1

Sugerencia:

$$\frac{d}{dx} (e^{{x^2}log(x)})=\frac{d}{dx}\left({{x^2}log(x)}\right)e^{{x^2}log(x)}$$

$$\frac{d}{dx} (e^{{x^2}log(x)})=\frac{d}{dx}\left({{x^2}log(x)}\right)e^{{x^2}log(x)}=\left(x+2x\log x \right)(e^{{x^2}log(x)})$$

Answer 2

En primer lugar, hemos de pensar en volver a cuando hemos aprendido a diferenciar $x^n$, y escribir $\frac{d}{dx} x^{x^2} = x^2 x^{x^2 -1} = x^{x^2+1}$.

Pero ¡oh, no! Más tarde nos enteramos de cómo diferenciar $c^x$$\operatorname{log}c \cdot c^x$! Así que vamos a hacerlo de esa manera, asegurándose de recordar la regla de la cadena: $\frac{d}{dx} x^{x^2} = 2x \log x \cdot x^{x^2}$.

Aun así, sabemos que ninguna de estas respuestas pueden ser correctas. Tan sólo tendremos que escribir tanto hacia abajo, y esperamos obtener crédito parcial: $\frac{d}{dx} x^{x^2} = x^{x^2+1} + 2x \log x \cdot x^{x^2}$.

Answer 3

Yo también primer intento de expresar la exponenciación en $y = x^{x^2}$ con la función exponencial, porque recuerdo la derivación de reglas de aquí mejor. :-)

Tomando el logaritmo natural en ambos lados de la ecuación, obtenemos $\ln y = x^2 \ln x$ y, a continuación, invertir de nuevo, tenemos $y = e^{x^2 \ln x}$. Que es lo que tienes.

Ahora vamos a utilizar la regla de la cadena:

$y' = e^{x^2 \ln x} \left(x^2 \ln x\right)'$ y, a continuación,

$y' = e^{x^2 \ln x} \left(2 x \ln x + x^2 \frac{1}{x} \right)$ , lo que da

$y' = x^{x^2} \left(2 x \ln x + x \right)$ y, finalmente,

$y' = x^{x^2 + 1} \left(2 \ln x + 1 \right)$.

Esto es similar a la respuesta por usuario T. Bongers, si resubstitute $y = x^{x^2}$ en su respuesta y hacer un poco de la combinación de los términos.

El uso de la übercool JavaScript puerto de Gnuplot en http://gnuplot.respawned.com/, donde me pegue

set terminal svg enhanced size 400,300
set output 'out.svg'
set grid
plot [0:2][-0.5:1.5] exp(x*x*log(x)) title "y", exp((x*x+1) * log(x)) \
* (2 * log(x) + 1) title "y'", 2 * log(x) + 1 title "n"            

Tengo este bonito gráfico:

Si leíste hasta aquí, gracias. Para mí fue mi primer post aquí y estoy sorprendido acerca de los rasgos expresivos (fórmulas, gráficos) aquí.