Demuestre que$f'(x)g(x) = 0$ para todos$x \in [a,b]$

Question

Permita que$f,g$ sea funciones continuamente diferenciables en$[a,b]$, suponga que$g$ no es negativo en$[a,b]$ y$f$ aumenta en$[a,b]$. Supongamos además que$g(a) = 0$ y$g(b) = 0$, y eso

ps

Demuestre que,$$\int_a^bf(x)g'(x)dx = 0$$$f'(x)g(x) = 0$ x \ in [a, b] $.

Answer 1

Por integración por partes, $\int f'(x) g(x) dx = f(x) g(x) - \int f(x) g'(x) dx$.

Por lo $0 = \int_a^b f'(x) g(x) dx = f(a) g(a) - f(b)g(b) - \int_a^b f(x) g'(x) dx$

Desde $g(a) = g(b) = 0$, es claro que los dos primeros términos se $0$. El tercer término de la expresión, que nos han dado, es también $0$: $\int_a^b f(x) g'(x) dx = 0$.

Tenemos $\int_a^b f'(x) g(x) dx = 0$, e $f'(x) g(x) \ge 0$ y es continua, por lo que podemos concluir aquí que $f'(x) g(x) = 0$ todos los $x \in [a,b]$.

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Si no podemos usar el teorema de que una función continua no negativa cuya integral sobre un intervalo es idéntica $0$ más que integral, entonces podemos proceder de la siguiente manera:

Por supuestos, $g(x) \ge 0$$f'(x) \ge 0$. Supongamos $f'(c) > 0$ $g(c) > 0$ para un punto fijo $c \in ( a,b)$. Por la continuidad, $f'(x) > 0$ $g(x) > 0$ para algunos vecindario $(c-\epsilon,c+\epsilon)$. Por lo $$\int_{c-\epsilon}^{c+\epsilon} f'(x) g(x) dx > 0$$

Por nonnegativity del producto $f'(x) g(x)$, se deduce que el $$\int_a^{c-\epsilon} f'(x) g(x) dx , \int_{c+\epsilon}^b f'(x) g(x) dx \ge 0$$

Por lo $\displaystyle \int_a^b f'(x) g(x) dx = \int_a^{c-\epsilon} f'(x) g(x) dx + \int_{c-\epsilon}^{c+\epsilon} f'(x) g(x) dx + \int_{c+\epsilon}^b f'(x) g(x) dx > 0$